2021届高考数学（文）一轮复习学案：概率第4节概率与统计、统计案例的综合问题


第四节　概率与统计、统计案例的综合问题
⊙考点1　概率与统计的综合问题
　破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”

　经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分别在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100 000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有黄桃均以20元/千克收购；
B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)
[解](1)由题得黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2，
∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．
记抽取质量在[350,400)的黄桃为A1，A2，A3，质量在[400,450)的黄桃为B1，B2，
则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2.
其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为.
(2)方案B好，理由如下：
由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05，
同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3，0.2，0.05.
若按方案B收购：
∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100 000＝45 000个，
黄桃质量不低于350克的个数为55 000个．
∴收益为45 000×5＋55 000×9＝720 000元．
若按方案A收购：
根据题意各段黄桃个数依次为5 000,16 000,24 000，30 000，20 000,5 000，于是总收益为(225×5 000＋275×16 000＋325×24 000＋375×30 000＋425×20 000＋475×5 000)×20÷1 000＝709 000(元)．
∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.
　解答本例第(2)问时，方案A需要算出黄桃的总质量，方案B需要求出黄桃质量低于350克和不低于350克的个数．
[教师备选例题]
　(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
[解](1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
　(2019·泰安模拟)2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护．某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位：万元)的柱状图．

(1)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；(结果保留整数)
(2)园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元．
①分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；
②现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率．
[解](1)由柱状图可知，甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150,290,350,400,300,400，
其平均数为×(150＋290＋350＋400＋300＋400)＝315(万元)；
乙企业这六年在环保方面的投入金额分别为100,200,300,230,500,300，
其平均数为×(100＋200＋300＋230＋500＋300)＝≈272(万元)，
(2)①根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励t(x)(单位：万元)是关于该年环保投入x(单位：万元)的分段函数，即t(x)＝
所以甲企业这六年获得的奖励之和为：0＋20＋50＋50＋20＋50＝190(万元)；
乙企业这六年获得的奖励之和为：0＋0＋20＋20＋50＋20＝110(万元)．
②由①知甲企业这六年获得的奖励数如下表：
年份
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
奖励(单位：万元)
0
20
50
50
20
50
奖励共分三个等级，其中奖励0万元的只有2012年，记为A；
奖励20万元的有2013年，2016年，记为B1，B2；
奖励50万元的有2014年，2015年和2017年，记为C1，C2，C3，
故从这六年中任意选取两年，所有的情况为：
(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15种．
其中奖励之和不低于70万元的取法为：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共9种．
故所求事件的概率为P＝＝.
⊙考点2　概率与线性回归分析的综合问题
　在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和的计算公式比较复杂，求它们的值时计算量比较大，因此为了计算准确，可将它们分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度．
　(2019·黄山模拟)由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题－讲题－再刷题”的模式效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型－刷题－检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间t(单位：h)与检测效果y的数据如表所示：
记题型时
间t/h
1
2
3
4
5
6
7
检测效果
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)据统计表明，y与t之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明(若|r|≥0.75，则认为y与t有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系)；
(2)建立y关于t的回归方程，并预测该学生记题型8 h的检测效果；
(3)在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率．

[解](1)由题得＝＝4，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(yi－)2＝7.08， (ti－)(yi－)＝14，
∴r＝＝≈0.99＞0.75.
∴y与t有很强的线性相关关系．
(2)由(1)可得＝＝＝0.5，
∴＝－ ＝4.3－0.5×4＝2.3.
∴y关于x的线性回归方程＝0.5t＋2.3，
当t＝8时，＝0.5×8＋2.3＝6.3.
∴预测该学生记题型8 h的检测效果约为6.3.
(3)由题意，该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有：
(3.6,4.4)，(3.6,4.8)，(3.6,5.2)，(3.6,5.9)，(4.4,4.8)，(4.4,5.2)，(4.4,5.9)，(4.8,5.2)，(4.8,5.9)，(5.2,5.9)共10种情况，
其中检测效果均高于4.4的有：(4.8,5.2)，(4.8,5.9)，(5.2,5.9)共3种结果．故所求概率P＝.
　在计算r或时，要充分利用题目中给出的数据，结合所给公式，分析哪些数据已知，哪些未知．
　某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另外三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

[解](1)由题意，设这两天发芽的种子数分别为m，n，m，n的所有取值有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10个，
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3个，
所以P(A)＝，
故从这5天中任选2天，发芽的种子数均不小于25的概率为.
(2)由数据得＝12，＝27，
∴3 ＝972,32＝432.
又xiyi＝977，x＝434，
∴＝＝，
＝27－×12＝－3，
∴y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(3)当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|＜2，
当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|＜2.
故所得到的线性回归方程是可靠的．
⊙考点3　概率与独立性检验的综合问题
　解决概率与统计案例综合问题的四步骤

　(2019·大同模拟)“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号，现从“微信运动”的60个好友(男、女各30人)中，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：

0～
2 000步
2 001～
5 000步
5 001～
8 000步
8 001～
10 000步
＞10 000步
男(人数)
2
4
6
10
8
女(人数)
1
7
10
9
3

P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：χ2＝.
(1)若某人一天的走路步数超过8 000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型
懈怠型
总计
男(人数)



女(人数)



总计



(2)现从被系统评定为“积极型”好友中，按男女性别分层抽样，共抽出5人，再从这5人中，任意抽出3人发一等奖，求发到一等奖的3人中恰有一名女性的概率．
[解](1)根据题意填写列联表如下：

积极型
懈怠型
总计
男(人数)
18
12
30
女(人数)
12
18
30
总计
30
30
60
计算χ2＝＝2.4＜2.706，
所以没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
(2)按男女性别分层抽样，抽出5人中3男2女，分别设为a，b，c，D，E，
从这5人中任意抽出3人，所有结果为abc，abD，abE，acD，acE，aDE，bcD，bcE，bDE，cDE共10种，
其中恰有1名女性的基本事件有abD，abE，acD，acE，bcD，bcE共6种，
故所求的概率为P＝＝.
　解答本例第(1)问的关键是正确列出2×2列联表．
[教师备选例题]
某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，部分统计数据如下表：

使用智能
手机人数
不使用智
能手机人数
总计
学习成绩优秀人数
4
8
12
学习成绩不优秀人数
16
2
18
总计
20
10
30
参考数据：
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
(1)试根据以上数据运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？
(2)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B组，计划从A组推选的2人和B组推选的3人中，随机挑选2人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的2人恰好分别来自A，B两组的概率．
[解](1)由题易求得K2＝10，
因为7.879