2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第55课向量的数量积

第55课　向量的数量积1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算.3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.1. 阅读：必修4第83～88页.2. 解悟：①数量积的定义；②向量b在向量a方向上的投影；③两个向量夹角的范围；④重解第87页例4，体会解题的方法和规范.3. 践习：在教材空白处，完成第89～90页习题12～18题.　基础诊断　1. 判断下列各题正确与否：(1) 0·a＝0.(  )(2) 0·a＝0.( √ )(3) 若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c.(  )(4) 若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立.(  )(5) (a·b)·c＝a·(b·c)，对任意a，b，c向量都成立.(  )(6) 对任意向量a，有a2＝|a|2.( √ )【分析与点评】 (1)(2) 实数与向量的乘积是一个向量，向量与向量的数量积是一个实数；(3) 向量不能进行除法运算；(4) 当a⊥(b－c)时也成立；(5) 向量间的乘法不具有结合律.2. 已知A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·＝　－4　.解析：由题意得＝(2，1)，＝(－2，0)，所以·＝(2，1)·(－2，0)＝－4.3. 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝　a2　.解析：由题意得，||2＝a2，·＝a×a×cos 60°＝a2，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝a2＋a2＝a2.4. 已知|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则向量a与b的夹角为　　.解析：由题意得(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0，所以a·b＝－|a|2＝－4.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝－，所以θ＝.　范例导航　考向❶   通过定义求平面向量的数量积例1　已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为135°.(1) 求(a＋b)·(2a－b)的值；(2) 若k为实数，求|a＋kb|的最小值.解析：(1) 由题意得a·b＝|a||b|cos 135°＝－1，(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝4－1－1＝2.(2) |a＋kb|2＝|a|2＋k2|b|2＋2ka·b＝k2－2k＋2＝(k－1)2＋1.当k＝1时，|a＋kb|2的最小值为1，即|a＋kb|的最小值为1.已知向量a、b满足＝1，且a与b－a的夹角为，则|a|的取值范围是　　. 解析：在△ABC中，设＝a，＝b.因为b－a＝－＝，a与b－a的夹角为120°，所以∠ABC＝60°.因为||＝|b|＝1，所以＝，所以|a|＝sin C≤，所以|a|∈.考向❷  通过“基底法”求平面向量的数量积例2　如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，F为DE的中点，求·的值.  解析：＝－＝－，＝－＝－＝－，所以·＝(－)·(－)＝||2－·＋||2＝2－4＋6＝4.在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，OA＝3，OC＝5. 若·＝－7，则·＝　9　.　解析：因为O为BD的中点，所以＋＝0.因为·＝－7，所以(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋·＝||2＋·(＋)－||2＝||2－||2＝－7，即32－||2＝－7，所以||2＝16，所以||＝||＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋||2＝－||2＋·(＋)＋||2＝－16＋52＝9，故·的值为9.考向❸  通过建系法求平面向量的数量积例3　在矩形ABCD中，边长AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且＝，则·的取值范围是　[1，4]　.解析：以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1).设点M的坐标为(2，y)，点N的坐标为(x，1).因为＝，所以y＝，所以＝(x，1)，＝，所以·＝·(x，1)＝＋1，0≤x≤2，所以1≤＋1≤4，即·∈[1，4].在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是　[4，6]　.解析：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(3，0)，B(0，3)，所以直线AB的方程为＋＝1，即y＝－x＋3.设点N(a，3－a)，M(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3.不妨设a>b，因为MN＝，所以(a－b)2＋(3－a－3＋b)2＝2，所以a－b＝1，所以a＝b＋1，所以0≤b≤2.·＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b＋1)b－3(b＋1＋b)＋9＝2(b－1)2＋4.因为0≤b≤2，当b＝0或b＝2时有最大值6，当b＝1时，有最小值4，所以·的取值范围是[4，6].　自测反馈　1.  若a，b均为单位向量，且a⊥(a－2b)，则a，b的夹角大小为　　.解析：由题意得a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0.因为a，b均为单位向量，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，所以θ＝，故a与b的夹角大小为.2.  已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为　　Ｗ.解析：设c＝(x，y)，则2a－c＝(2－x，2－y)，3b－c＝(－3－x，3－y).因为(2a－c)·(3b－c)＝0，所以(2－x，2－y)·(－3－x，3－y)＝0，即＋＝.因为圆经过原点，所以|c|的最大值为圆的直径.3. 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为　－17　.解析：如图以C为原点，AC所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，D(0，2)，所以＝(3，－4)，＝(－3，2)，所以·＝(3，－4)·(－3，2)＝－9－8＝－17.4. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，＝λ，＝λ. 若·＝－1，则λ＝　　Ｗ.解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋λ)＝(＋λ)·(－λ)＝－λ||2＋λ||2＋(1－λ2)··＝(1－λ2)·＝(1－λ2)×2×2×cos 120°＝2(λ2－1)＝－1，解得λ＝±.因为λ>0，所以λ＝.1. 求两个非零向量的夹角时，要注意它的取值范围是[0，π].2. 两个向量数量积是一个数，常用的计算方法有：定义法、坐标法、基底法等，在使用定义法时，要准确确定两个向量的夹角.3. 你还有哪些体悟，写下来：