2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第10章第4节 离散型随机变量及其分布列
展开第四节 离散型随机变量及其分布列
[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
P | p1 | p2 | … | pi | … | pn |
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
②pi＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X | 0 | 1 |
P | 1－p | p |
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
X | 0 | 1 | … | m |
P | … |
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )
X | 2 | 5 |
P | 0.3 | 0.7 |
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是( )
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
C [甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选C.]
3．设随机变量X的分布列如下：
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | p |
则p为( )
A. B.
C. D.
C [由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]
4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
10 [由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，
∴取到每个数的概率均为，
∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.]
5．在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3 [由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.]
离散型随机变量的分布列的性质
1．随机变量X的分布列如下：
X | －1 | 0 | 1 |
P | a | b | c |
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.
[由题意知
所以2b＋b＝1，则b＝，因此a＋c＝.
所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.]
2．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求a；
(2)求P；
(3)求P.
[解] (1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.
[规律方法] 1利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
2求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
求离散型随机变量的分布列
【例1】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X | 200 | 300 | 400 |
P |
[规律方法] 求离散型随机变量分布列的步骤
1找出随机变量X的所有可能取值xii＝1，2，3，…，n；
2求出各取值的概率PX＝xi＝pi；
3列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.
一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
[解] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.
(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
超几何分布
【例2】 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示 ：
PM2.5日均 值(微克/立方米) | [25， 35) | [35， 45) | [45， 55) | [55， 65) | [65， 75) | [75， 85] |
频数 | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[解] (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
[规律方法] 求超几何分布的分布列的步骤
某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
[解] (1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝＝.
(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
