2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第7章第3节　直线、平面平行的判定及其性质

第三节　直线、平面平行的判定及其性质

[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

[常用结论]

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

4．三种平行关系的转化：

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)

(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)

(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．(教材改编)下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

D　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]

3．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)

A．α内有无数条直线都与β平行

B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内

C．α内的任何直线都与β平行

D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α

C　[在选项A中，α内有无数条直线都与β平行，α与β有可能相交，故选项A错误；在选项B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故选项B错误；在选项C中，α内的任何直线都与β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故选项C正确；在选项D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故选项D错误．故选C.]

4．已知直线l∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线l的直线(　　)

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，不一定在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

B　[过直线l和点P作一个平面β与α相交于m，

∵l∥α，∴l∥m，且m⊂α，

若n也是过点P且平行于l的直线，

则m∥n，这与m∩n＝P相矛盾，故选B.]

5．(教材改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF⊂平面ACE，

BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

与线、面平行相关命题的判定

1．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D　[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.]

2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

①　    　②　             ③　  　④

A．①③　　 B．②③

C．①④   D．②④

C　[对于图形①，易得平面MNP与AB所在的对角面平行，所以AB∥平面MNP；对于图形④，易得AB∥PN，又AB⊄平面MNP，PN⊂平面MNP，所以AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．故选C.]

[规律方法]　与线、面平行相关命题的判定，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形.

直线与平面平行的判定与性质

►考法1　直线与平面平行的判定

【例1】　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．

(1)证明：OE∥平面PAB；

(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF；

(3)若AF＝2，M为△ABC的重心，证明FM∥平面PBC.

[证明]　(1)由已知四边形ABCD为菱形，

又O为AC的中点，所以O为BD的中点，

又E为PD的中点，

所以OE∥PB.

又OE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以OE∥平面PAB.

(2)过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.

因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，

所以EG∥平面BDF，

因为底面ABCD是菱形，O是AC的中点，

又因为E为PD的中点，所以G为PF的中点，

因为AF＝1，PA＝3，所以F为AG的中点，

所以OF∥CG.

因为CG⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，

所以CG∥平面BDF.

又EG∩CG＝G，EG，CG⊂平面CGE，

所以平面CGE∥平面BDF，

又CE⊂平面CGE，所以CE∥平面BDF.

(3)连接AM，并延长，交BC于点Q，连接PQ，

因为M为△ABC的重心，

所以Q为BC中点，且＝.

又AF＝2，所以＝.

所以＝，

所以MF∥PQ，

又MF⊄平面PBC，PQ⊂平面PBC，

所以FM∥平面PBC.

►考法2　线面平行性质定理的应用

【例2】　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

[证明]　∵CD∥平面EFGH，

而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∴CD∥EF.

同理HG∥CD，∴EF∥HG.

同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∵CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴平行四边形EFGH为矩形．

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．

[解]　(1)证明：连接BD，设BD交AC于O，连接EO，

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

又EO⊂平面AEC，

PB⊄平面AEC，

∴PB∥平面AEC.

(2)PC的中点G即为所求的点．

证明如下：

连接GE，FG，∵E为PD的中点，∴EG綊CD；

又F是AB的中点，∴AF綊CD，∴AF綊EG，∴四边形AFGE为平行四边形，∴FG∥AE，又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，

∴FG∥平面AEC.

平面与平面平行的判定与性质

【例3】　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．

(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

[母题探究]　(1)在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

(2)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

[证明]　(1)如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B.

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA.

(2)如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，

∴A1B∥DM.

∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1，

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，

BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1.

又∵DC1∩DM＝D，

DC1，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

[证明]　(1)如图所示，设DF与GN交于点O，

连接AE，则AE必过点O，连接MO，

则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO.

因为BE⊄平面DMF，

MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN.

因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

因为M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN.

因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG.

因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，

所以平面BDE∥平面MNG.

(2016·全国卷Ⅲ节选)如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

证明：MN∥平面PAB.

[证明]　由已知得AM＝AD＝2.

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，

所以MN∥平面PAB.