2020版物理新导学浙江选考大一轮精讲讲义：第五章机械能守恒定律第2讲

第2讲　动能定理
[考试标准]
知识内容
考试要求
说明
动能和动能定理
d
1.不要求用平均力计算变力做功和利用F－l图象求变力做功．
2.不要求用动能定理解决物体系的问题.


动能　动能定理
1．动能
(1)定义：物体由于运动而具有的能叫动能．
(2)公式：Ek＝mv2.
(3)标矢性：动能是标量，只有正值．
(4)状态量：动能是状态量，因为v是瞬时速度．
2．动能定理
(1)内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
(2)表达式：W＝mv22－mv12＝Ek2－Ek1.
(3)适用条件：
①既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
②既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
(4)应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．
自测1　关于动能定理的表述式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是(　　)
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的功，只能先求合外力再求合外力的功
C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W>0时动能增加，当WEk2，W1Ek2，W1＝W2
C．Ek1＝Ek2，W1>W2 D．Ek1W2
答案　B
解析　设斜面的倾角为θ，斜面的底边长为x，则下滑过程中克服摩擦力做的功为W＝＝μmgx，所以两种情况下克服摩擦力做的功相等．又由于B的高度比A低，所以由动能定理可知Ek1>Ek2.故选B.
4．物体沿直线运动的v－t关系图象如图2所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则(　　)

图2
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为－W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
答案　D
解析　由动能定理W合＝mv22－mv12知第1 s内W＝mv2.同理可知，D正确．
5.(2019届丽水市质检)如图3为倾角可调的可移动式皮带输送机，适用于散状物料或成件物品的装卸工作．在顺时针(从左侧看)匀速转动的输送带上端无初速度放一货物，货物从上端运动到下端的过程中，其动能Ek(选择地面所在的水平面为参考平面)与位移x的关系图象可能正确的是(　　)

图3

答案　B
解析　货物从上端运动到下端的过程可能一直匀加速、也可能先加速后匀速或者先做加速度较大的匀加速运动后做加速度较小的匀加速运动，故只有B正确．
6.如图4所示，一个弹簧左端固定于墙上，右端连接物块，物块质量为m，它与水平桌面间的动摩擦因数为μ.起初用手按住物块，弹簧的伸长量为x，然后放手，当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为v0，已知重力加速度为g，则此过程中弹力所做的功为(　　)

图4
A.mv02＋μmgx B.mv02－μmgx
C.mv02 D．μmgx－mv02
答案　A
解析　当弹簧恢复到原长时，物块对地的位移为x，根据动能定理有：W弹＋(－μmgx)＝mv02－0，得W弹＝mv02＋μmgx，选项A正确．
7．一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行x1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离x2应为(不计空气阻力的影响)(　　)
A．6.4 m B．5.6 m
C．7.2 m D．10.8 m
答案　A
解析　急刹车后，汽车只受摩擦阻力Ff的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．由动能定理有
－Ffx1＝0－mv12①
－Ffx2＝0－mv22②
由①②得＝
故汽车滑行的距离
x2＝x1＝2×3.6 m＝6.4 m．故A正确．

8．如图5所示的滑草运动中，某游客从静止开始由坡顶向坡底下滑，滑到坡底时速度大小为8 m/s，如果该游客以初速度6 m/s沿原来的路线由坡顶滑下，则游客滑到坡底时的速度大小是(设游客所受阻力不变)(　　)

图5
A．14 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．9 m/s
答案　B
解析　游客由静止从坡顶下滑到坡底的过程中，由动能定理得mgh－Ff·s＝mv12，游客以6 m/s的初速度从坡顶下滑到坡底的过程中，由动能定理得mgh－Ff·s＝mv22－mv02，由以上两式解得v2＝10 m/s，选项B正确．
9．如图6所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，OA之间的水平面光滑，固定曲面在B处与水平面平滑连接．AB之间的距离s＝1 m．质量m＝0.2 kg的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.现给物块一个水平向左的初速度v0＝5 m/s，g取10 m/s2.

图6
(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能Ep；
(2)求物块返回B点时的速度大小；
(3)若物块能冲上曲面的最大高度h＝0.2 m，求木块沿曲面上滑过程因摩擦所产生的热量．
答案　(1)1.7 J　(2)3 m/s　(3)0.5 J
解析　(1)对小物块从B点至压缩弹簧最短的过程，由动能定理得：
－μmgs－W＝0－mv02
W＝Ep
代入数据解得Ep＝1.7 J
(2)对小物块从B点开始运动至返回B点的过程
－μmg·2s＝mvB2－mv02
代入数据解得vB＝3 m/s
(3)对小物块沿曲面上滑的过程，
由动能定理得：Wf－mgh＝0－mvB2
代入数据解得Q＝|Wf|＝0.5 J.
10．(2018·浙江11月选考·20)如图7所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高．质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点的高度h1＝1.10 m，篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1＝0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2＝0.01 m，弹性势能为Ep＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球形变，弹簧形变在弹性限度范围内，g取10 m/s2.求：

图7
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；
(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置．
答案　(1)500 N/m　(2)0.5 N
(3)11.05 m　(4)第一次下落至A点下方0.009 m处速度最大
解析　(1)由最后静止的位置可知kx2＝mg，所以k＝500 N/m
(2)由动能定理可知，在篮球由静止下落到第一次返弹至最高点的过程中
mgΔh－Ff·L＝mv22－mv12
整个过程动能变化为0，重力做功mgΔh＝mg(h1－h2)＝1.135 J
空气阻力恒定，作用距离为L＝h1＋h2＋2x1＝2.273 m
因此代入可知Ff≈0.5 N
(3)整个运动过程中，空气阻力一直与运动方向相反
根据动能定理有mgΔh′＋Wf＋W弹＝mv2′2－mv12
整个过程动能变化为0，重力做功W＝mgΔh′＝mg(h1＋x2)＝5.55 J
弹力做功W弹＝－Ep＝－0.025 J
则空气阻力做功Wf＝－Ffs＝－5.525 J
联立解得s＝11.05 m.
(4)速度最大的位置是第一次下落到合力为零的位置，即mg＝Ff＋kx3，得x3＝0.009 m，即球第一次下落至A点下方0.009 m处速度最大．
11．(2017·浙江11月选考·20)如图8甲所示是游乐园的过山车，其局部可简化为如图乙的示意图，倾角θ＝37°的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD顺滑连接，倾斜轨道BC的B端高度h＝24 m，倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点，圆弧EF的圆心O1、水平半圆轨道CD的圆心O2与A点在同一水平面上，DO1的距离L＝20 m．质量m＝1 000 kg的过山车(包括乘客)从B点自静止滑下，经过水平半圆轨道后，滑上另一倾斜轨道，到达圆弧顶端F时乘客对座椅的压力为自身重力的0.25倍．已知过山车在BCDE段运动时所受的摩擦力与轨道对过山车的支持力成正比，比例系数μ＝，EF段摩擦力不计，整个运动过程空气阻力不计．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图8
(1)求过山车过F点时的速度大小；
(2)求从B到F整个运动过程中摩擦力对过山车做的功；
(3)如果过D点时发现圆轨道EF段有故障，为保证乘客的安全，立即触发制动装置，使过山车不能到达EF段并保证不再下滑，则过山车受到的摩擦力至少应多大？
答案　(1)3 m/s　(2)－7.5×104 J　(3)6×103 N
解析　(1)在F点由牛顿第二定律得：
m人g－0.25m人g＝m人，
r＝Lsin θ＝12 m
代入已知数据可得：vF＝3 m/s.
(2)根据动能定理，从B点到F点：
mg(h－r)＋Wf＝mvF2－0
解得Wf＝－7.5×104 J.
(3)在没有故障时，物体到达D点的速度为vD，根据动能定理－mgr－μmgcos 37°·LDE＝mvF2－mvD2
LDE＝Lcos 37°＝16 m，
发现故障之后，过山车不能到达EF段，设刹车后恰好到达E点速度为零，在此过程中，过山车受到的摩擦力为Ff1，根据动能定理
－mgLDEsin 37°－Ff1LDE＝0－mvD2，
联立各式解得Ff1＝4.6×103 N
使过山车能停在倾斜轨道上的摩擦力至少为Ff2，则有Ff2－mgsin θ＝0，
解得Ff2＝6×103 N
综上可知，过山车受到的摩擦力至少应为6×103 N.