第四章 第三节 圆周运动-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第三节　圆周运动　

一、匀速圆周运动

1．定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长__相等__，就是匀速圆周运动。

2．特点：加速度大小__不变__，方向始终指向__圆心__，是变加速运动。

3．条件：合外力大小__不变__、方向始终与__速度__方向垂直且指向圆心。

二、角速度、线速度、向心加速度

三、匀速圆周运动的向心力

1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的__方向__，不改变速度的__大小__。

2．大小：F＝ma＝m＝__mω2r__＝mr＝mωv＝4π2mf2r。

3．方向：始终沿半径指向__圆心__方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。

4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的__合力__提供，还可以由一个力的__分力__提供。

四、离心现象

1．定义：做__圆周运动__的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需__向心力__的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。(×)

(2)做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的。(×)

(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。(×)

(4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。(√)

(5)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。(√)

(6)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度。(√)

(7)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。(√)

(8)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(×)

考点一　圆周运动的运动学问题

1．对公式v＝ωr的理解

当r一定时，v与ω成正比。

当ω一定时，v与r成正比。

当v一定时，ω与r成反比。

2．对an＝＝ω2r的理解

在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比。

3．常见的传动方式及特点

(1)皮带传动：如图所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。

(2)摩擦传动和齿轮传动：如图所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。

(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。

[例1]　如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：

(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；

(2)A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC；

(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。

[解析]　(1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v。因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1。

(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3同轴转动，所以ωC＝ω。因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度相同时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。

(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a。又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a。

所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。

[答案]　(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1

[跟踪训练]

1．(2021·福州高三质检)如图是某共享自行车的传动结构示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘(大齿轮)，Ⅱ是半径为r2的飞轮(小齿轮)，Ⅲ是半径为r3的后轮。若某人在匀速骑行时每秒踩脚踏板转n圈，则下列判断正确的是(　　)

A．牙盘转动角速度为

B．飞轮边缘转动线速度为2πnr2

C．牙盘边缘向心加速度为

D．自行车匀速运动的速度为

[解析]　脚踏板与牙盘同轴转动，二者角速度相等，每秒踩脚踏板n圈，因为转动一圈，对圆心转的角度为2π，所以角速度ω1＝2πn，A错误；牙盘边缘与飞轮边缘线速度的大小相等，据v＝Rω可知，飞轮边缘上的线速度v1＝2πnr1，B错误；牙盘边缘的向心加速度a＝＝＝(2πn)2r1，C错误；飞轮的角速度ω2＝，飞轮与后轮的角速度相等，所以自行车匀速运动的速度即后轮的线速度为v2＝ω2r3，整理可得v2＝，D正确。

[答案]　D

考点二　圆周运动的动力学问题

1．向心力的来源

(1)向心力的方向沿半径指向圆心。

(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。

2．向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。

[例2]　(多选)(2021·天水一模)如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，则(sin 37°＝0.6)(　　)

A．A、B两球所受支持力的大小之比为3∶4

B．A、B两球运动的周期之比为2∶

C．A、B两球的角速度之比为2∶

D．A、B两球的线速度大小之比为8∶3

[解析]　由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则如图得，N＝，则＝＝，故A错误。小球受到的合外力：mgtan θ＝m＝mr，r＝Rsin θ，解得T＝，则＝＝，故B错误。根据公式：mgtan θ＝mω2r，所以：ω＝，所以：＝＝＝，故C正确。根据mgtan θ＝得：v＝，所以：＝＝＝，故D正确。故选C、D。

[答案]　CD

◆方法提炼

“一、二、三、四”求解圆周运动问题

[跟踪训练]

2．(多选)(2020·黄冈期末)如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系于小球上，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时(　　)

A．细绳对小球的拉力可能为零

B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等

C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等

D．当ω＝时，金属圆环对小球的作用力为零

[解析]　因为圆环光滑，如图，小球不受摩擦力，小球受重力、绳子的拉力、环对球的弹力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，Tsin 60°－Nsin 60°＝mω2rsin 60°，解得T＝mg＋mω2r，N＝mg－mω2r，当ω＝ 时，金属圆环对小球的作用力N＝0。综上可知C、D正确，A、B错误。

[答案]　CD

考点三　竖直面内的圆周运动问题

竖直面内的轻绳模型和轻杆模型

(一)竖直面内的轻绳模型

[例3]　如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取10 m/s2，求：

(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？

(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？

(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？

[解析]　(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得

mg＋F1＝①

由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0②

联立①②得v≥，

代入数值得v≥2 m/s

所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。

(2)由牛顿第二定律得mg＋F2＝m，将v2＝4 m/s代入得，

F2＝15 N。

(3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙，

由牛顿第二定律得

F3－mg＝③

将F3＝45 N代入③得

v3＝4 m/s

即小球的速度不能超过4 m/s。

[答案]　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s

[跟踪训练]

3．(多选)(2020·深圳模拟)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)

A．图象函数表达式为F＝m＋mg

B．重力加速度g＝

C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大

D．绳长不变，用质量较小的球做实验，b值不变

[解析]　由受力分析得F＝m－mg，A错误；由图象可知，当F＝0时，mg＝m，即v2＝gl，得g＝，B正确；结合图象和F＝m－mg可知，图象的斜率k＝，所以m减小，斜率减小，C错误；由前述讨论可知b＝gl，当m减小时，b值不变，D正确。

[答案]　BD

(二)竖直面内的轻杆模型

[例4]　(2021·广安、眉山、内江、遂宁四市第一次诊断性考试)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。 MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是(　　 )

A．管道的半径为

B．小球的质量为

C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力

D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

[解析]　由题图可知：当v2＝b，FN＝0，此时mg＝m，解得：R＝，故A错：当v2＝0时，此时FN＝mg＝a，所以m＝，故B对；小球在水平线MN以下的管道中运动

时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错。

[答案]　B

[跟踪训练]

4．如图所示，轻杆一端与一质量为m的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，轻杆可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)

A．小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为零

B．当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力大小不可能等于mg

C．小球运动到最低点时对轻杆的拉力可能等于4mg

D．小球运动到最低点时对轻杆的拉力一定不小于6mg

[解析]　小球在轻杆的作用下做圆周运动，在最高点时，若mg＝F向，则小球对轻杆的作用力为零，A错误；假设当杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力等于重力，则有mg＝m，此时小球的动能为mv＝mgr，由机械能守恒定律可知，小球不可能运动到最高点，不能完成完整的圆周运动，假设不成立，B正确；若小球恰能完成完整的圆周运动，则在最高点时，小球的速度为零，在最低点时，小球的动能为2mgr，由F－mg＝m＝4mg，由牛顿第三定律，可知小球对轻杆的作用力最小为5mg，C、D错误。

[答案]　B

考点四　圆周运动的临界问题

1．与摩擦力有关的临界问题

物体做圆周运动恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力Ffmax。

(1)如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffmax＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。

(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端拴接物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别对应静摩擦力达到最大且方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

2．与弹力有关的临界问题

做圆周运动的物体存在压力、支持力或绳的拉力的临界条件是物体间的弹力恰好为零、绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

[例5]　(多选)(2020·铜仁联考)如图所示，两个可视为质点的相同的木块A和B放在水平转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)

A．当ω＞ 时，A、B相对于转盘会滑动

B．当ω＞ 时，绳子一定有弹力

C．当ω在 ＜ω＜ 范围内增大时，B所受摩擦力变大

D．当ω在0＜ω＜ 范围内增大时，A所受摩擦力一直变大

[解析]　当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有kmg­t＝mLω，对B有T＋kmg＝m·2Lω，解得ω1＝，当ω＞ 时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；当B达到最大静摩擦力时，绳子将要产生弹力，kmg＝m·2Lω，解得ω2＝ ，知ω＞ 时，绳子一定有弹力，故B正确；当ω在0＜ω＜ 范围内增大时，B所受摩擦力变大，当ω在 ＜ω＜ 范围内增大时，B所受摩擦力不变，故C错误；当ω在0＜ω＜ 范围内增大，A所受摩擦力一直增大，故D正确。

[答案]　ABD

[跟踪训练]

5．如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内

绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)

(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？

(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？

[解析]　(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：

mgtan θ＝mωlsin θ

解得：ω＝

即ω0＝＝rad/s。

(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtan α＝mω′2lsin α

解得ω′2＝，

即ω′＝＝2rad/s。

[答案]　(1)rad/s　(2)2rad/s

◆规律方法　水平面内圆周运动临界问题的分析技巧

在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。