2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第八章第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的联系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：
V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh.
[熟记常用结论]
1．设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
2．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
3．设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)
(3)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　)
(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、选填题
1．一个球的表面积为16π，那么这个球的体积为(　　)
A.π　　　　　　　　 B.π
C．16π D．24π
解析：选B　设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR3＝π.
2．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是(　　)
A．40π2 B.64π2
C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π
解析：选D　当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.
3．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π　　　 B．24π　　　　
C．28π　　　　 D．32π
解析：选C　由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.
答案：3
5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，
它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47


[典例精析]
(1)(2019·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)

A．28　　　　　　　 B．24＋2
C．20＋4 D．20＋2
(2)(2018·黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为(　　)

A．16＋12π B.32＋12π
C．24＋12π D．32＋20π
[解析]　(1)如图所示，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE­DCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋×2＋2×1＋2×＝24＋2.
(2)由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16.
[答案]　(1)B　(2)A
[解题技法]
求空间几何体表面积的常见类型及思路
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
由三视图求几何体的表面积
关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用公式求解

[过关训练]
1.在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．4π B.(4＋)π
C．6π D．(5＋)π
解析：选D　∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，
BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋×2π×1×＝(5＋)π.
2．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.
答案：26

[考法全析]
考法(一)　直接利用公式求体积
[例1]　(2019·武汉调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D．3
[解析]　如图，三棱锥P­ABC为三视图所对应几何体的直观图，
由三视图可知，S△ABC＝×2×3＝3，点P到平面ABC的距离h＝3，则VP­ABC＝S△ABC·h＝×3×3＝3，故选D.
[答案]　D
考法(二)　割补法求体积
[例2]　(1)(2019·长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为(　　)
A．4 B.5
C．6 D．12
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．
[解析]　(1)如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，可将原几何体切割成三棱柱EHG­FNM，四棱锥E­ADHG和四棱锥F­MBCN，易知三棱柱的体积为×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.
(2)连接BD1，则四棱锥A1­BB1D1D分成两个三棱锥B­A1DD1与B­A1B1D1，所以VA1­BB1D1D＝VB­A1DD1＋VB­A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.
[答案]　(1)B　(2)
考法(三)　等体积法求体积
[例3]　如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
[答案]　A
[技法点拨]
求空间几何体的体积的常用方法
公式法
对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积

[过关训练]
1．[公式法]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．1 B.
C. D.
解析：选C　由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝Sh＝.
2．[割补法]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A．48 cm3 B.78 cm3
C．88 cm3 D．98 cm3
解析：选D　由三视图可知几何体为一个长方体截去一个角后剩余的几何体，所以其体积是6×3×6－××4×5×3＝98(cm3)．
3.[等体积法]如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为________．
解析：三棱锥P­ABA1的体积为V三棱锥P­ABA1＝V三棱锥C­ABA1＝V三棱锥A1­ABC＝S△ABC·AA1＝××32×3＝.
答案：

[考法全析]
考法(一)　几何体的外接球
[例1]　(1)(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)
A.π　　　　　　　　　 B.π
C．16π D．32π
(2)(2018·成都模拟)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A. B.
C．8π D．12π
[解析]　(1)设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π.

(2)易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝.故该球的表面积S＝4πR2＝8π.
[答案]　(1)B　(2)C
考法(二)　几何体的内切球
[例2]　(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
[解析]　(1)设圆柱内切球的半径为R，
则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，
故＝＝.
(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
∵△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.
∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则r＝＝－1.
[答案]　(1)　(2)－1
[规律探求]
看个性
考法(一)是几何体的外接球
一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
考法(二)是几何体的内切球
求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
找共性
解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：


[过关训练]
1．(2019·南宁模拟)已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P­ABC的外接球的体积为(　　)
A.π B.π
C．27π D．27π
解析：选B　∵三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为＝3，∴其外接球半径R＝.因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝×3＝π.
2.(2018·唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)
A．10 cm B.10 cm
C．10 cm D．30 cm
解析：选B　依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm.

一、题点全面练
1．(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(　　)

A．4＋4　　　　　　　　　 B．4＋2
C．8＋4 D.
解析：选A　由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P­ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×＝4＋4.
2．(2019·开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)

A．4π B.2π
C. D．π

解析：选B　由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π.
3．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(　　)

A．72＋6π　　　　　　　 B．72＋4π
C．48＋6π D．48＋4π
解析：选A　由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)

A．64－ B.64－
C．64－16π D．64－
解析：选A　由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥＝Sh＝×π×22×4＝，∴V＝V正方体－V锥＝43－＝64－.
5.(2018·广州调研)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A.π B.6π
C．11π D．12π
解析：选C　根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱锥S­ABC所示，取线段AC的中点O1，过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P，因为△ABC是直角三角形，所以外接球的球心O必在直线PO1上，连接SO，SP，OC，设OO1＝x，球的半径为R，易得SP＝，所以解得R2＝，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝11π，故选C.
6.如图，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．
解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，
∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝，PF＝，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝AC1·PF＝××＝.
答案：
7．(2019·合肥质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×12＋×2×π×1×3＋2××π×12＋3×2＝8π＋6.
答案：8π＋6
8．已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，取SC的中点O，连接OA，OB.∵SA＝AC，SB＝BC，∴OA⊥SC，OB⊥SC，∵平面SAC⊥平面SBC，∴OA⊥平面SBC.设OA＝r，则VS­ABC＝VA­SBC＝S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3＝9.∴r＝3.∴球O的表面积为4πr2＝36π.
答案：36π
9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，
则2＋r2＝R2，即h＝2.
因为S＝2πrh＝4πr·＝
4π≤4π＝2πR2，
当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号，
所以当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.
10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)求证：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BE⊥AC.
因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E­ACD的体积
V三棱锥E­ACD＝·AC·GD·BE＝x3＝，
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2018·衡水二模)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是(　　)

A．π＋4＋4 B.2π＋4＋4
C．2π＋4＋2 D．2π＋2＋4
解析：选B　由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝2×π×12＋2××2×1＋π×2×1＋(＋＋2)×2－2×1＝2π＋4＋4.
2．(2019·石家庄质检)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为(　　)

A. B.
C. D.
解析：选A　记由三视图还原后的几何体为四棱锥A­BCDE，如图，将其放入棱长为2的正方体中，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即棱锥的高，设为h，在△ABE中，易知AE＝BE＝，cos∠ABE＝，则sin∠ABE＝，所以h＝，故四棱锥的体积V＝×2××＝.
3．三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC­A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱AA1的长为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选C　因为球O与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA1的长等于球的直径．设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如图所示．因为AC＝，所以AD＝AC＝.因为tan ＝，所以球的半径R＝MD＝ADtan＝×＝，所以AA1＝2R＝2×＝1.
4．(2018·洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析：选A　将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V＝πR3＝π.

(二)技法专练——活用快得分
5．[构造法]某几何体的三视图如图所示(粗实线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)

A．15π B.16π
C．17π D．18π
解析：选C　由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1­BCD，将其放在长方体ABCD­A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为＝，球O的直径为，所以球O的表面积S＝17π.
6．[补形法]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A. B.
C．2 D.
解析：选D　由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，截去一个小三棱锥的组合体，直观图如图所示．
直三棱柱的体积为×2×1×2＝2，而截去的三棱锥的体积为××1×1×1＝，故所求几何体的体积为2－＝.
7．[等体积法]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，点M在平面ACB1内运动，则线段BM的最小值为(　　)
A. B.
C. D．3
解析：选C　线段BM的最小值即点B到平面ACB1的距离h.在△ACB1中，AC＝B1C＝，AB1＝2，所以AB1边上的高为＝，所以S△ACB1＝×2×＝.又三棱锥B­ACB1的体积VB­ACB1＝VA­BB1C＝××2×1×2＝，所以VB­ACB1＝×h＝，所以h＝.
8．[分割法]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为3的正方体削去左上角一个底面是直角边长为3和1的直角三角形，侧棱长为3且垂直于底面的三棱锥，削去右上角的一底面为直角边长为2和3的直角三角形，侧棱长为3的直棱柱之后得到的，剩余几何体的体积为V＝27－＝.
答案：
(三)交汇专练——融会巧迁移
9．[与数学文化交汇]刍甍(chú ménɡ)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍的字面意思为茅草屋顶．”如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面且不考虑厚度)需要的茅草面积为(　　)

A．24 B.32
C．64 D．32
解析：选B　由三视图易知，此几何体的表面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成(不考虑底面)，则搭建此几何体需要的茅草面积为S＝2××4×＋2××(4＋8)×＝32.
10．[与数学文化交汇]古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米．已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)(　　)

A．410斛 B.420斛
C．430斛 D．441斛

解析：选D　粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V＝×7×12＝714(立方尺)，又≈441，所以可以储存粟米约441斛．
11．[与线面角交汇](2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．


解析：如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，
∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB
＝×(r)2×＝5，
解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.
答案：40π