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2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第4讲函数的概念及其表示
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第4讲 函数的概念及其表示
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A,B
设A,B是两个
设A,B是两个
对应关系
f:A→B
按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个数x,在集合B中都有 的数f(x)与之对应
按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应
名称
称 为从集合A到集合B的一个函数
称对应 为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B
2.函数的三要素
函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的 .与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 .
3.函数的表示法
函数的常用表示方法: 、 、 .
4.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(6)y=logax(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+,k∈Z.
2.抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为,+∞;当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
题组一 常识题
1.[教材改编] 以下属于函数的有 .(填序号)
①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改编] 已知函数f(x)=则f(-2)= ,f[f(-2)]= .
3.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是 .
4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有 种.
题组二 常错题
◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.
5.函数y=·的定义域是 .
6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 .
7.已知f()=x-1,则f(x)= .
8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.
探究点一 函数的定义域
角度1 求给定函数解析式的定义域
例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 ( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)
(2)函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.
角度2 求抽象函数的定义域
例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],
则函数g(x)=的定义域是 ( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为 ( )
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]
[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.
变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为 .
探究点二 函数的解析式
例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是( )
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .
(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)= .
[总结反思] 求函数解析式的常用方法:
(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t= ( )
A. B. C. D.
(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= ( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)= .
探究点三 以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数的求值问题
例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f(x)=则f[f(-1)]= ( )
A. B.+1
C.1 D.3
(2)已知函数f(x)=则f(log27)= .
[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.
微点2 分段函数与方程
例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a= ( )
A.2 B.-2
C.-3 D.3
(2)函数f(x)=若f(0)+f(a)=2,则a的值为 .
[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.
微点3 分段函数与不等式问题
例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=则满足f(x+1)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
应用演练
1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=( )
A.0 B.2
C.-2 D.1
2.【微点2】设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a的值为 ( )
A. B.
C.或 D.
3.【微点3】已知函数f(x)=则不等式f(x)≤5的解集为 ( )
A.[-1,1]
B.[-2,4]
C.(-∞,-2]∪(0,4)
D.(-∞,-2]∪[0,4]
4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f(x)=则不等式f(x)≤x的解集为 ( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
5.【微点2】设函数f(x)=若f=4,则b= .
第4讲 函数的概念及其表示
考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f:A→B f:A→B
2.定义域 值域 定义域 值域
3.解析法 图像法 列表法
4.对应关系
对点演练
1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.
2.4 5 [解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.
3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].
4.7 [解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.
5.{x|x≥2} [解析] 要使函数有意义,需解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.
6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.
当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.
当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.
综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].
7.x2-1(x≥0) [解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
8.9 [解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.
(1)C (2)A [解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
(2)由题意,自变量x应满足解得故函数的定义域为(-3,0].
例2 [思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.
(1)D (2)C [解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0
变式题 (1)A (2)[-1,2] [解析] (1)由题意知0
所以-≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,
所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].
例3 [思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.
(1)A (2)-x2+2x+15 (3)-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,
∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.
(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,
用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,
解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.
变式题 (1)A (2)A (3)2x+或-2x-1 [解析] (1)设t=2x-1,则x=,
故f(t)=4×+3=2t+5,
令2t+5=6,则t=,故选A.
(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.
(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.
例4 [思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.
(1)D (2) [解析] (1)由题意可得f(-1)==2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.
(2)因为2
(1)D (2)0或1 [解析] (1)根据题意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,
即a=3,故选D.
(2)∵f(x)=∴f(0)=20=1.
当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;
当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.
例6 [思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.
(1)D (2)D [解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=-1>1,即>2,解得x0<-1;
当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.
∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1
应用演练
1.A [解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=++1=0.
2.B [解析] 因为f(a)=4,所以或
所以或所以a=,故选B.
3.B [解析] 由于f(x)=
所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0
所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].
4.A [解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;
当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.
故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].
5. [解析] 由f=4,可得f=4.
若-b≥1,即b≤,可得=4,解得b=.
若-b<1,即b>,可得3×-b=4,解得b=<(舍去).故答案为.
【备选理由】 例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.
例1 [配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为( )
A.(1,2] B.(2,4]
C.[1,2) D.[2,4)
[解析] B 要使函数f(x)有意义,则需⇒1
A.-2 B.2
C.4+ D.-4-
[解析] A 当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),
可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,
则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2,
∴f(-2018)=-f(1)=-2.
例3 [配合例5使用] 已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为 .
[答案] 1
[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.
例4 [补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 .
[答案] a≥-
[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为,
∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,
即满足2+a≥,解得a≥-.
故答案为a≥-.
第4讲 函数的概念及其表示
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A,B
设A,B是两个
设A,B是两个
对应关系
f:A→B
按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个数x,在集合B中都有 的数f(x)与之对应
按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的 一个元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应
名称
称 为从集合A到集合B的一个函数
称对应 为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B
2.函数的三要素
函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的 .与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 .
3.函数的表示法
函数的常用表示方法: 、 、 .
4.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(6)y=logax(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+,k∈Z.
2.抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为,+∞;当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
题组一 常识题
1.[教材改编] 以下属于函数的有 .(填序号)
①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改编] 已知函数f(x)=则f(-2)= ,f[f(-2)]= .
3.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是 .
4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有 种.
题组二 常错题
◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.
5.函数y=·的定义域是 .
6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 .
7.已知f()=x-1,则f(x)= .
8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.
探究点一 函数的定义域
角度1 求给定函数解析式的定义域
例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 ( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)
(2)函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
[总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.
角度2 求抽象函数的定义域
例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],
则函数g(x)=的定义域是 ( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为 ( )
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]
[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.
变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为 .
探究点二 函数的解析式
例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是( )
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .
(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)= .
[总结反思] 求函数解析式的常用方法:
(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t= ( )
A. B. C. D.
(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)= ( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)= .
探究点三 以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数的求值问题
例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f(x)=则f[f(-1)]= ( )
A. B.+1
C.1 D.3
(2)已知函数f(x)=则f(log27)= .
[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.
微点2 分段函数与方程
例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a= ( )
A.2 B.-2
C.-3 D.3
(2)函数f(x)=若f(0)+f(a)=2,则a的值为 .
[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.
微点3 分段函数与不等式问题
例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=则满足f(x+1)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
应用演练
1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=( )
A.0 B.2
C.-2 D.1
2.【微点2】设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a的值为 ( )
A. B.
C.或 D.
3.【微点3】已知函数f(x)=则不等式f(x)≤5的解集为 ( )
A.[-1,1]
B.[-2,4]
C.(-∞,-2]∪(0,4)
D.(-∞,-2]∪[0,4]
4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f(x)=则不等式f(x)≤x的解集为 ( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
5.【微点2】设函数f(x)=若f=4,则b= .
第4讲 函数的概念及其表示
考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f:A→B f:A→B
2.定义域 值域 定义域 值域
3.解析法 图像法 列表法
4.对应关系
对点演练
1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.
2.4 5 [解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.
3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].
4.7 [解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.
5.{x|x≥2} [解析] 要使函数有意义,需解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.
6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.
当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.
当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.
综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].
7.x2-1(x≥0) [解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
8.9 [解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.
(1)C (2)A [解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
(2)由题意,自变量x应满足解得故函数的定义域为(-3,0].
例2 [思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.
(1)D (2)C [解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0
变式题 (1)A (2)[-1,2] [解析] (1)由题意知0
所以-≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,
所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].
例3 [思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.
(1)A (2)-x2+2x+15 (3)-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,
∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.
(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,
用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,
解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.
变式题 (1)A (2)A (3)2x+或-2x-1 [解析] (1)设t=2x-1,则x=,
故f(t)=4×+3=2t+5,
令2t+5=6,则t=,故选A.
(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.
(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.
例4 [思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.
(1)D (2) [解析] (1)由题意可得f(-1)==2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.
(2)因为2
(1)D (2)0或1 [解析] (1)根据题意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,
即a=3,故选D.
(2)∵f(x)=∴f(0)=20=1.
当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;
当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.
例6 [思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.
(1)D (2)D [解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=-1>1,即>2,解得x0<-1;
当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.
∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)
应用演练
1.A [解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=++1=0.
2.B [解析] 因为f(a)=4,所以或
所以或所以a=,故选B.
3.B [解析] 由于f(x)=
所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0
所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].
4.A [解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;
当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.
故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].
5. [解析] 由f=4,可得f=4.
若-b≥1,即b≤,可得=4,解得b=.
若-b<1,即b>,可得3×-b=4,解得b=<(舍去).故答案为.
【备选理由】 例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.
例1 [配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为( )
A.(1,2] B.(2,4]
C.[1,2) D.[2,4)
[解析] B 要使函数f(x)有意义,则需⇒1
A.-2 B.2
C.4+ D.-4-
[解析] A 当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),
可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,
则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2,
∴f(-2018)=-f(1)=-2.
例3 [配合例5使用] 已知f(x)=若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为 .
[答案] 1
[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.
例4 [补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 .
[答案] a≥-
[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为,
∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,
即满足2+a≥,解得a≥-.
故答案为a≥-.
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