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    2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档:第八章第二节 两条直线的交点与距离公式 学案

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    第二节 两条直线的交点与距离公式
    2019考纲考题考情



    1.两条直线平行与垂直的判定
    (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2。特别地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2平行。
    与Ax+By+C=0平行的直线,可设为Ax+By+m=0(m≠C)。
    (2)两条直线垂直:如果两条直线l1、l2斜率存在,设为k1、k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1。特别地,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直。
    与Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+n=0。
    2.两直线相交
    (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应。
    (2)相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解。
    (3)平行⇔方程组无解。
    (4)重合⇔方程组有无数个解。
    3.三种距离公式
    (1)点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离为
    |AB|= 。
    (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为
    d=。
    (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为d=。
    4.对称问题
    (1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0)。
    (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则有可求出x′,y′。

    1.两直线垂直的充要条件
    直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0。
    2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2。
    3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
    (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式。
    (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等。

    一、走进教材
    1.(必修2P101A组T10改编)已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=________。
    解析 由题意知=1,所以m-4=-2-m,所以m=1。
    答案 1
    2.(必修2P114A组T10改编)已知直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(  )
    A.4 B.
    C. D.
    解析 由两直线平行,可得m=2,直线3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0,所以两直线间的距离d==。故选D。
    答案 D
    二、走近高考
    3.(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(  )
    A. B.2
    C.2 D.3
    解析 由题意知F(1,0),直线FM的方程为y=(x-1),与y2=4x联立得y2-y-4=0,因为M在x轴上方,解得M的纵坐标为2,则M(3,2)。由l:x=-1,MN⊥l得N(-1,2),所以直线NF的方程为y=-x+,即x+y-=0,点M到NF的距离d==2。故选C。
    答案 C
    三、走出误区
    微提醒:①判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;②求平行线间距离忽视x,y的系数相同。
    4.若直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+a2y+a=0平行,则实数a=________。
    解析 因为直线l1的斜率k1=-1,l1∥l2,所以a2=1,且a≠-1,所以a=1。
    答案 1
    5.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为________。
    解析 先把两直线方程化为同系数方程:6x+8y-24=0和6x+8y+5=0,|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离,故d==。
    答案 
    6.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为__________________。
    解析 过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标,求得λ=-,故所求直线方程为x-3y+4-(2x+y+5)=0,即3x+19y=0。
    答案 3x+19y=0

    考点一 两条直线的平行与垂直问题
    【例1】 (1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3。若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(  )
    A.-10 B.-2
    C.0 D.8
    (2)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________。
    解析 (1)因为l1∥l2,所以=-2(m≠-2),解得m=-8(经检验,l1与l2不重合),因为l2⊥l3,所以2×1+1×n=0,解得n=-2,所以m+n=-10。
    (2)l1的斜率k1==a。当a≠0时,l2的斜率k2==。因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1。当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2。综上可知,实数a的值为1或0。
    答案 (1)A (2)1或0

    1.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在。
    2.“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”。
    【变式训练】 (1)“a=2”是“直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的(  )
    A.充要条件 B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
    (2)已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos的值为(  )
    A. B.-
    C.2 D.-
    解析 (1)由直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行,得a(a-1)=2,且4a+4≠0,所以a=2,所以a=2是直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行的充要条件。
    (2)直线x+2y-3=0的斜率为-,因为倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,所以tanα=2,则cos=cos=cos=sin2α===。故选A。
    答案 (1)A (2)A
    考点二 两条直线的交点与距离问题
    【例2】 (1)经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________________。
    (2)(2019·广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________。
    (3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________。
    解析 (1)由方程组得即P(0,2)。因为l⊥l3,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0。
    (2)由题意得,点P到直线的距离为=。又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10]。
    (3)依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6。
    答案 (1)4x+3y-6=0 (2)[0,10] (3)2或-6
    【互动探究】 若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”,如何求解?
    解 由方程组
    得即P(0,2)。
    因为l∥l3,所以直线l的斜率k=,
    所以直线l的方程为y-2=x,
    即3x-4y+8=0。

    解:因为直线l过直线l1和l2的交点,
    所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0。
    因为l与l3平行,所以3(λ-2)-(-4)(1+λ)=0,且(-4)(4-2λ)≠5(λ-2),所以λ=,
    所以直线l的方程为3x-4y+8=0。


    1.求过两直线交点的直线方程的方法
    求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程。
    2.利用距离公式应注意:①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等。
    【变式训练】 (1)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是________。
    (2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________________。
    解析 (1)如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2)。而直线方程y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线。因为两直线的交点在第一象限,所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),所以动直线的斜率k需满足kPA
    (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0。由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0。当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意。故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1。

    解析:当AB∥l时,有k=kAB=-,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0。当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4),所以直线l的方程为x=-1,故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1。

    答案 (1) (2)x+3y-5=0或x=-1
    考点三 对称问题
    【例3】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2)。求:
    (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
    (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
    (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程。
    解 (1)设A′(x,y),由已知
    解得
    所以A′。
    (2)在直线m上取一点M(2,0),
    则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上。
    设M′(a,b),则

    解得M′。
    设直线m与直线l的交点为N,
    则由得N(4,3)。
    又因为m′经过点N(4,3),
    所以由两点式得直线m′方程为9x-46y+102=0。
    (3)设P(x,y)为l′上任意一点,
    则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),因为P′在直线l上,
    所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
    即2x-3y-9=0。

    解决两类对称问题的关键
    解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键要抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解。
    【变式训练】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程。
    解 由得

    所以反射点M的坐标为(-1,2)。
    又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的对称点P′(x0,y0),
    由PP′⊥l可知,kPP′=-=。
    而PP′的中点Q的坐标为,又Q点在l上,
    所以3·-2·+7=0。
    由得
    根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0。

    解:设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P′(x,y),则=-,
    又PP′的中点Q在l上,
    所以3×-2×+7=0,

    可得P点的横、纵坐标分别为
    x0=,y0=,
    代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0。
    所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0。


    1.(配合例1使用)已知b>1,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-(b-1)y-1=0互相垂直,则a的最小值等于(  )
    A.2-1 B.2+1
    C.2+2 D.2-2
    解析 因为直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-(b-1)y-1=0互相垂直,所以(b2+1)-a(b-1)=0,又因为b>1,所以a=+=b-1++2≥2+2,当且仅当b=+1时,等号成立。故选C。
    答案 C
    2.(配合例2使用)已知曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2,则直线l的方程为(  )
    A.2x+y+2=0
    B.2x+y+2=0或2x+y-18=0
    C.2x-y-18=0
    D.2x-y+2=0或2x-y-18=0
    解析 y′==-,当x=2时,-=-2,因此kl=-2。设直线l的方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,由题意,得=2,解得b=18或b=-2,所以直线l的方程为2x+y-18=0或2x+y+2=0。故选B。
    答案 B
    3.(配合例3使用)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(  )

    A.3 B.6
    C.2 D.2
    解析 直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|==2。

    答案 C

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