沪教版六年级上册1.4 素数、合数与分解素因数优秀学案及答案

第一章 数的整除

1.4 素数、合数与分解素因数

1.掌握质数与合数的概念与定义。能判断一个数为质数还是合数。

2.能辨别素因数和因数之间的联系和区别。

3.能熟练地进行素因数的分解。

4.可以根据一个数分解出的素因数来判断其因数个数。

知识点1：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

      注：1既不是素数，也不是合数。这样正整数又可以分为1、素数和合数三类。

          既是素数又是偶数的是2。

          最小的合数为4。

例1.判断下列说法正误

（1）正整数中除了奇数就是偶数。        （  ）

（2）正整数中除了素数就是合数。        （  ）

（3）素数一定是奇数。                  （  ）

（4）两个素数相乘的积也是素数。        （  ）

（5）一个素数的因数肯定是素数。        （  ）

（6）素数和合数之间一定没有共有的因数。（  ）

阅读材料：

你知道1-100以内的素数表是怎么制成的吗？

我们可以用筛选法制素数表，大致的步骤是：

在1到100这些正整数中，①划去1；②圈出10以内的素数③划去2的倍数；④划去3的倍数；⑤划去5的倍数；⑥划去7的倍数；⑦把没有划去的数排列起来，就制成了1-100以内的素数表。

1-100以内的素数表：

2     3     5     7     11     13     17     19     23

29    31    37    41    43     47     53     59     61

67    71    73    79    83     89     97

思考1：为什么划去7的倍数后，就不再划下去了？

知识点2：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

（1）利用“树枝分解法”分解素因数：

         6                  28                  60 

      2  ×  3            4   ×  7            6   ×  10

       6=2×3

                      2  ×  2  ×  7       2  × 3×2   ×  5

                        28=2×2×7            60=2×2×3×5

（2）利用短除法分解素因数：

    2      48                  5     35                 2      60

     2     24                        7                   2     30

      2    12                                             3    15

       2    6                                                   5

            3

      48=2×2×2×2×3               35=5×7                  60=2×2×3×5

用短除法分解素因数的步骤如下：

1．   先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。

2．   得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。

3．   然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

注：分解素因数时，直至分解所得的因数都是素数。

    1不是素数，不能在分解素因数时出现。

例2.把下列各数分解素因数。

（1）35         （2）36          （3）56          （4）72          （5）81

例3.把24分解素因数的正确算式是 （  ）  

A.24=2×3×4      B.24=2×2×2×3       C.24=1×2×2×2×3       D.24=2×2×6

例4.在等式4×6=n=2×2×2×3中，4和6都是n的（  ），2和3都是n的（  ）。

A.素因数          B.素数                 C.因数                   D.合数

例5.判断下列说法正误

（1）42分解素因数是42=2×21。                        （  ）

（2）A=2×3×5×B, 其中B>1，则B一定是A的素因数。  （  ）      

知识点3：利用素因数找因数

要写出一个整数的因数，我们可以用试除的方法一个个试算出来，也可以按照规律一对一对地写出来，例如求180的因数有多少个，就可以将全部引述写出来，再数一数便可以知道因数的各数。

180的因数有：1, 180; 2, 90; 3, 60; 4, 45; 5, 36; 6, 30; 9, 20; 10, 18; 12, 15,共9对18个，对于数字较大的合数，这样求因数既费时，又容易漏掉，是否有更好的办法呢？对此我们可以一起探究因数的个数与素因数个数间的关系。

利用下列各数的素因数，分别写出他们所有的因数。

思考2：你发现因数的个数和素因数个数之间的关系了吗？

例6. 210=21×10=2×3×5×7，你能很快知道210的因数个数并求出它的所有因数吗？

例7：求1260的所有因数。

随堂练习

1.下列说法中正确的是（  ）

A.一个正整数不是素数，就是合数                B.两个素数的乘积可能是偶数            

C.1是最小的素数                              D.所有的偶数都是合数

2.下列说法中错误的是（  ）

A.1是任何正整数的因数                         B.0是最小的自然数             

C.既不是素数也不是合数的数只有1               D.一个素数的因数不一定是素数

3.几个素数的积一定是(  )

A.素数          B.奇数          C.偶数          D.以上说法都不对

4.1的因数有    个，一个素数的因数有    个，一个合数的因数至少有    个。

5.正整数按照因数的个数可以分为        、        、        。

6.1到20的正整数中，素数有                              。

7.在横线上填上合适的素数：15=       +       ；16=        +        =        +  

     。         

8.如果两个连续的自然数都是素数，那么这两个数是            。

9.108分解素因数后，所有的素因数之和是          。

10.每个合数都可以写成         相乘的形式，其中         都是这个合数的素因数。   

11.24和64共有的素因数是            。

12.m=2×2×2×3×5，所以m的素因数有       个，m的因数有      个。 

13.一个长方形的长和宽都是素数，且周长是198厘米，则这个长方形的面积是       平方厘米。

14.一个长方形的周长是28厘米，且长和宽都是素数，则这个长方形的面积为       平方厘米。

15.一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的自然数，个位上的数字既不是素数也不是合数，这个三位数是多少？

16.一个长方形的面积是91平方厘米，且长和宽都是素数，求这个长方形的周长。

17.写出小于20，又符合下列条件的正整数

（1）既是偶数又是合数：                                   ；

（2）既是偶数又是素数：                                   ；

（3）既是奇数又是合数：                                   ；

（4）既是奇数又是素数：                                   ；

18.如果一个两位数不能被                 整除，那么这个两位数一定是素数。

  （请写出解析过程）

19.用短除法将下列各数分解素因数。

（1）54                     （2）87                     （3）100

20.在算式□□×□□=2010中，四张纸片分别盖住了一个数字，这四个数字的和是多少？

21.有三个生肖相同的人，他们年龄的乘积为728，这三个人的年龄分别是多少？

22.已知一个小学生的年纪，数学成绩和班级排名的乘积为3201，则这个小学生的年纪，数学成绩和班级排名分别为多少？

23.你能把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等吗？

24.5580共有多少个素因数？多少个因数？最大的因数是多少？最大的两位数因数是多少？

参考答案

例1. （1）√    （2）×    （3）×    （4）×    （5）×    （6）×   

思考1. 8是2的倍数，划去了2的倍数，其中也就划去了8的倍数；

      9是3的倍数，划去了3的倍数，其中也就划去了9的倍数；

      10是2和5的倍数，划去了2，5的倍数，其中也就划去了10的倍数；

      11×11=121，故在寻找100以内的素数时，无需考虑11的倍数，同理，也无需考11之后的数的倍数。

例2. （1）35=5×7    （2）36=2×2×3×3    （3）56=2×2×2×7

（4）72=2×2×2×3×3    （4）81=3×3×3×3

例3.B            例4.C，A            例5.×，×    

知识点3.

思考2. 要求一个合数的因数的个数，可以先把这个数分解素因数，然后把不同素因数的个数加1连乘起来，得到的结果就是这个合数的因数个数。

例6. 2×2×2×2=16（个）

    210的因数：1, 210; 2, 105; 3, 70; 5, 42; 6, 35; 7, 30; 10, 21; 14, 15。

例7.1260=2×2×3×3×5×7，因数个数=3×3×2×2=36（个）

随堂练习

1. B  2. C  3. D  4. 1, 2, 3   5. 1, 素数, 合数   6. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19  7. 2, 13, 3, 13, 11, 5   8. 2, 3   9. 13   10.几个素数, 每个素数   11. 2, 2, 2   12. 5, 16   13. 194

14. 33   15. 401或400   16. 40cm   17. (1)4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18; (2)2; (3)9, 15; (4)3, 5, 7, 11, 13, 17, 19;   18.2, 3, 5, 7（解析略）   19. (1)54=2×3×3×3；（2）87=3×29; （3）100=2×2×5×5；   20. 2010分解素因数：2010=2×3×5×67，所以67×30=2010，6+7+3+0=16；21. 2岁，14岁，26岁   22. 11岁，97分，第3名   23. 能，第一组：44, 45, 78, 105; 第二组：40, 63, 65, 99（提示：将这八个数分解素因数，40=2×2×2×5, 44=2×2×11, 45=3×3×5, 63=3×3×7, 65=5×13, 78=2×3×13, 99=3×3×11, 105=3×5×7）   24. 6个, 36个, 5580, 93