河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试 数学（理）（含答案）

洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试

数学试卷（理）

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页，第n卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.

第I卷(选择题，共60分)

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2. 考试结束，将答题卡交回.

一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.

1.若复数则|

A. 1   B.   C. D. 2     

2.已知集合 A = { | }，B = {x| }，则 AB =

A. (0,1) B. (0,3) C. (1,3) D. (3,+}

3. 已知向量均为非零向量，且|  | =丨 | = |  一 |，则与的夹角为

A.    B.    C.     D.

4. 执行如图所示的算法，若输出的结果y  2,则输人的x满足

A. x  4

B. x  1

C. x  或 x  4

D. - 1  x  4

5. 已知等差数列{}的前n项和为, = ，则 =

A. 2 B. 3 C.D.

6. 7. 已知四个命题:

   ;

以下命题中假命题是

A.  V  B.  V C.  V  D.  V

7. 若a,b,c 满足 = 4, = 3，c = ,则

A. b < a < c B. b < c < a C. a < b < c  D. a < c < b

8.  函数的图象大致为 ，

9. 已知F1F2是双曲线C:= 1的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，则△ABF2的内切圆的半径为

A.    B.    C.   D.

10. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA丄平面ABC，AB =， BC = 1,PA = AC = 2,则球O的表面积为

A.2    B. 8    C.D.

11. 已知函数= Sin( >0, |  |<)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是

A.函数的最小正周期为2； B.函数的图象关于点(，0)对称

C.函数在[，]上单调递增  D.函数的图象关于直线-对称

12. 如图，△ABC为等边三角形，D，E,  F分别为AB,AC,BC的中点，AFDE = G，

以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是

A. 动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上

B. 恒有平面A'GF丄平面BCDE

C 三棱锥A'- EFD的体积有最大值

D. 异面直线A'E与BD不可能垂直

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.  已知下x，y满足不等式组， 则z= 的最大值为_______.

14.  已知直线y=2x + 1与曲线切于点（1，3)，则 =_____.

15. 抛物线C:x2 = 8y的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A， B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为________.

16.  设a > 2，，有下列结论:①有两个极值点；②

有三个零点；③的所有零点之和为0.其中正确的结论是________ .(填序号）

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）

已知等比数列{}的前项和 =.

(1)  求r的值，并求出数列的通项公式；

(2)  令 ，求数列{}的前 n 项和

18. (本小题满分12分）

在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，B，c，若= sinC tanA- cosC.

(1)求 A;

(2)若b= 3，c = 2,点 D 为 BC 中点，求 a 及 AD.

19. (本小题满分12分）

如图四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD.PA =AB =，点E，F分别是棱PB，PC的中点.

(1)求证PB丄AF；

(2)若AD = 1,求二面角A —EC —D的平面角的余弦值。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C:十 - 1(a >b>0)人心率为其左,右焦点分别是F1 ,F2,椭圆上的4个点A,B,M,N满足：直线AB过左焦点F1，直线AM过坐标原点O，直线AN的斜率为，且△AB F2的周长为8.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 求△AMN面积的最大值.

21. (本小题满分12分）

已知函数 = lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a  R).

(1) 讨论函数的单调性；

(2) 若a=-2,证明：当x>0 时>0.

请考生在第22、23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑

22. (本小题满分10分）选修4 一 4极坐标和参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1),曲线的参数方程为为参数).以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为).

(1) 把的参数方程化为极坐标方程；

(2) 设分别交，于点P，Q，求△APQ的面积.

23. (本小题满分10分）选修4 — 5 :不等式选讲

已知函数 M为不等式 <2的解集.

⑴求M;

(2)证明：当a,b M 时，| a + b|<丨 1 + ab I.

洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试

数学试卷参考答案(理）

一、 选择题

1-5 BCBCA   6-10 DADBB   11-12 CD

二、 填空题

13. 3 14. 2 15. 16  16.①②③

三、 解答题

17.解：（1) ∵ = ，

∴当 n = 1 时, =  = 4 — r.

当n 时, =   =

   ∵{}是等比数列，∴ =  4 — r ∴ r = 2,

∴  =  ( ).

(2) ∵

∴

= 

=1- 

18.解：（1)由正弦定理，原式可化为

sinC—sinB = sinA(sinCtanA - cosC)，

即sinC — sin(A + C) = sinA(sinCtanA — cosC)，

∴sinC — sinAcosC — cosAsinC = sinC—sinAcosC.

sinC,  + cosA =，

即  +  A = cosA，

cosA =，

又0<A<， ∴ A=

(2)由余弦定理可得

∴a = ,

∵D是BC的中点，∴BD=

又 cosB=

∴AD2=AB2+ BD2 - 2AB • BD • cosB=

∴AD=

19.解：∵ PA 丄底面ABCD,BC 平面 ABCD， ∴PA 丄 BC.      

而 BC 丄 AB，PA AB = A， ∴BC 丄平面 PAB，又 PB平面 PAB，

∴ BC丄PB.           

连结EF， ∵E,F点分别是棱PB,PC的中点，

∴EF 为△PBC 的中位线，∴ EF // BC，

∴EF 丄 PB.                                                      

又△PAB为等腰直角三角形，E为斜边的中点，

∴AE 丄 PB            而EF平面 AEF，AE平面 AEF，EF  AE = E，

∴PB 丄平面AEF.                                              

又AF平面AEF， ∴PB 丄AF.

(2) 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系.

则 D(0，1，0)，C(，1，0)，B(，0,0)，P(0,0, )，

∴E(,)               ……7 分

∴= ( , 1 , 0) , = (,)，

设平面ACE的法向量为 = (,，

则取=-1，

则 , 1 ，             9 分

设平面DCE的法向量为 = (,)，

而 =(，0,0)， = (,).

  则

取  = 1，则  = (0，1，).

 ∴                                           11分

∴二面角A — EC — D的平面角的余弦值为

20. (1)由椭圆的定义知4a = 8. ∴ a = 2.

  ∵

从而 b2 = a2 — c2 = 3.       

椭圆C的方程为十 

(2)设直线 AN:y=-代入曲线C:十

化简得 3x2 — 3tx— 3=0

设 A(,)，N(,)，

由△ > 0 得：t2 < 1 +  =t  • =……6分

lAN|= -  = •

=•

点O到直线AN的距离d =

∵直线AM过坐标原点，

∴ = 

(当且仅当 ，即 = 6 时，取“ = ”）.

∴△AMN面积的最大值为.

21. (1) ∵  = lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a  R).，

 ∴  

=

①     若a 0,则 > 0，在(0, + )上单调递增；

②       若a<0,由>0得0<x<-；

由  得 x >-.

∴函数在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减. 

综上，当a  0时，则在(0, + )上单调递增；

当a < 0时，在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减

⑵由⑴可知，当a =-2时，在(0， )上单调递增，在(，+ )上单调递减，

 = =ln               6 分

∴ = lnx — 2x2 + 1 < 0, - xlnx >— 2x3 + x,

∵可化为

∴.

记 h(x) = (x> 0)，则 h’(x) = 

记= ，则=，

由=,得

当 (0，ln2)时，< 0,当 (ln2, +)时， > 0，

∵函数在(0，ln2)上单调递减，在(ln2, +)上单调递增，

∴ = = = 4 – 2ln2 > 0,

∴> 0,即 h’(x) > 0,故函数h(x)在(0, +)上单调递增.

∴ h(x)> h(0) == 0,即, > 0,

∴  > 0.

22.  解:（1)由为参数），消去参数t得，

即g的普通方程为.

∴,

∴的极坐标方程为,,即 = 4cos.

(2)设点P，Q的极坐标分别为()，Q(.

将代入,得.

将代入，得 = 1_

所以 I PQ | = |=2 -1.

所以点A(0，1)到曲线的距离d = | OA | sin

所以  = |PQ|•d = (2 -1 ) • =

23. 解:⑴当<- 时，=，

则由  < 2 得-1 < x <- ;

当时，= = 1<2恒成立；

当>  时，;，由 < 2 得，.

综上可得，M=

⑵当 a，b  (- 1，1)时，有( — 1)( — 1) >0，

即 +1>+，

则  +2ab + 1 > +2ab +,

则(ab + 1)2 > (a + b)2，

即 |a + b|<| ab + 1|.