湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.4 相似三角形的判定与性质第3课时导学案

这是一份湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.4 相似三角形的判定与性质第3课时导学案，共5页。
01 基础题


知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似


1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(B)


A.eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)


B.eq \f(AB,AC)＝eq \f(A′B′,A′C′)且∠A＝∠A′


C.eq \f(AB,BC)＝eq \f(A′B′,A′C′)且∠B＝∠C


D.eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)且∠B＝∠B′


2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(C)


A．①②相似 B．①③相似


C．①④相似 D．②④相似





3．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要运用“两边对应成比例，且夹角相等”判定△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是∠A＝∠D．


4．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6.当OC＝eq \f(18,5)时，△OAC∽△OBD.





5．如图，求证：△AEF∽△ABC.





证明：∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,2)，eq \f(AF,AC)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC)．


又∠EAF＝∠BAC，


∴△AEF∽△ABC.


6．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.





证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，


∴∠DBA＝∠CAE.


又∵eq \f(AB,CA)＝eq \f(BD,AE)＝3，


∴△ABD∽△CAE.





7．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD).





(1)求证：△ACD∽△CBD；


(2)求∠ACB的大小．


解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，


∴∠ADC＝∠CDB＝90°.


又∵eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，


∴△ACD∽△CBD.


(2)∵△ACD∽△CBD，


∴∠A＝∠BCD.


在△ACD中，∠ADC＝90°.


∴∠A＋∠ACD＝90°.


∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.








02 中档题


8．(南通模拟)如图，已知∠C＝∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是(D)


A．∠BAD＝∠CAE B．∠B＝∠D


C.eq \f(BC,DE)＝eq \f(AC,AE) D.eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)





9．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝eq \f(1,2)时，△ACB∽△CBD.





10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线BD，AC相交于点E，问△AED与△BEC是否相似？有一位同学这样解答：





∵AB∥CD，


∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE.


∴△AEB∽△CED.


∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(BE,DE).


又∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC.


请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由．


解：不正确．


∵由已知条件不能得到eq \f(AE,BE)＝eq \f(DE,CE)，


∴不能证得△AED∽△BEC.





11．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.





(1)求证：△ACB∽△DCE；


(2)求证：EF⊥AB.


证明：(1)∵eq \f(AC,DC)＝eq \f(3,2)，eq \f(BC,EC)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，


∴eq \f(AC,DC)＝eq \f(BC,EC).


又∵△ACB和△DCE的顶点都在格点上，


∴∠ACB＝∠DCE＝90°.


∴△ACB∽△DCE.


(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.


又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.


∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.








12．如图，在△ABC中，AC＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1 cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2 cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？





解：设经过x秒，两三角形相似，


则CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，


①当CP与CA是对应边时，eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)，


即eq \f(8－x,8)＝eq \f(2x,16)，解得x＝4.


②当CP与CB是对应边时，eq \f(CP,CB)＝eq \f(CQ,CA)，


即eq \f(8－x,16)＝eq \f(2x,8)，解得x＝eq \f(8,5).


故经过4 s或eq \f(8,5) s，△PQC和△ABC相似．


03 综合题


13．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动．





(1)当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC?


(2)当P点移动到离B点多远时，∠APC＝90°？


解：(1)设BP＝x cm，则PD＝(14－x)cm.


∵△ABP∽△PDC，AB⊥BD，CD⊥BD，


∴∠B＝∠D＝90°.


∴eq \f(AB,PD)＝eq \f(BP,DC)，即eq \f(6,14－x)＝eq \f(x,4).


解得x1＝2，x2＝12.


∴BP＝2 cm或12 cm.


∴当P点移动到离B点2 cm或12 cm时，△ABP∽△PDC.


(2)若∠APC＝90°，则∠APB＋∠CPD＝90°.


又∵AB⊥BD，CD⊥BD，


∴∠B＝∠D＝90°，即∠A＋∠APB＝90°.


∴∠A＝∠CPD.


∴△ABP∽△PDC.


∴要使∠APC＝90°，则需满足△ABP∽△PDC.


∵由(1)得此时BP＝2 cm或12 cm，


∴当P点移动到离B点2 cm或12 cm时，∠APC＝90°.