2021版高考理科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第九章　第2讲　两直线的位置关系

第2讲　两直线的位置关系


一、知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．两种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝

点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝



常用结论
1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常见对称
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、教材衍化
1．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.因为a>0，所以a＝－1＋.
答案：－1
2．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；
(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；
(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．
1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________．
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
答案：2或－3
2．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案：0或1
3．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
答案：


　　　　　　两直线的位置关系(多维探究)
角度一　判断两直线的位置关系
(2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A.
【答案】　A
角度二　由两直线的位置关系求参数
(1)(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．－1或0
(2)(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
【解析】　(1)由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
(2)①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
【答案】　(1)D　(2)A
角度三　由两直线的位置关系求直线方程
(一题多解)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________．
【解析】　法一：由方程组
解得即交点为，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
【答案】　4x－3y＋9＝0

两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　判断两条直线的位置关系应注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情况．
(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．　

1．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)AB的中点为，即，
直线AB的斜率kAB＝＝－，
故线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，
所以其方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
2．(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔
解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2⇔
⇔可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.

　　　　　　两条直线的交点和距离问题(典例迁移)
(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为__________________．
(2)(2020·宿州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
(3)(2020·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
【解析】　(1)由方程组得即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
【答案】　(1)4x＋3y－6＝0　(2)[0，10]　(3)2或－6
【迁移探究】　若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？
解：法一：由方程组
得即P(0，2)．
因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝，
所以直线l的方程为y－2＝x，
即3x－4y＋8＝0.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0.

(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．　

1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.
由于△ABC的面积为2，
则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.
由点到直线的距离公式得＝，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
2．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
解析：

如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．
因为两直线的交点在第一象限，
所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
所以动直线的斜率k需满足kPA