2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性

第2课时　函数的奇偶性及周期性

一、知识梳理

1．函数的奇偶性

[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

[注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.

常用结论

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

二、教材衍化

1．下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x|  D．y＝2－x

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.

2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝        ．

解析：由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.

答案：1

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

二、易错纠偏

(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；

(2)周期不能正确求出从而求不出结果．

1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝        ．

解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．

答案：x(1－x)

2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝        ．

解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.

答案：1

　　　　　　判断函数的奇偶性(师生共研)

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x3－；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝

【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

并且对于定义域内的任意一个x都有

f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，

从而函数f(x)为奇函数．

(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．

又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，

所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，

当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；

当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．

故该函数为奇函数．

判定函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法

①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．

　已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数

B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数

C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数

D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数

解析：选A.易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.

　　　　　　函数奇偶性的应用(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1　　　　　　　 B．e－x＋1

C．－e－x－1  D．－e－x＋1

【解析】　通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.

优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.

【答案】　D

已知函数奇偶性可以解决的3个问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．

　(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为        ．

解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.

又因为函数f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，

所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.

法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，

因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.

答案：

　　　　　　函数的周期性(师生共研)

(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)

A．0.5  B．1.5

C．2.5  D．3.5

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.

(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.

当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．

【答案】　(1)C　(2)D

函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

　已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝        ，f(20)＝        ．

解析： 因为f(x＋2)＝－，

所以f(x＋4)＝－＝f(x)，

所以函数y＝f(x)的周期T＝4.

f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.

f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－＝－＝－.

答案：1　－

[基础题组练]

1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)

A．y＝－　　　　　　　 B．y＝log2|x|

C．y＝1－x2  D．y＝x3－1

解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．

2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)

A．－3  B．－

C.  D．3

解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.

3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选B.因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－.

4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．不能确定

解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，

所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.

5．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)

A．0  B．2

C．4  D．8

解析：选B.f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.

6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于        ．

解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，

f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，

由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.

答案：3

7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝        ．

解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，

则f＝f＝f＝＋1＝.

答案：

8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝        ．

解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，

所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.

答案：－1

9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.

(1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．

解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．

又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，

所以f(x)是偶函数．

(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，

则f(x)＝f(－x)＝x；

从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

故f(x)＝

10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)

＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，

得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，

即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.

[综合题组练]

1．(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，3)  B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

C．(－3，1)  D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1<a<3，故答案为A.

2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是        ．

解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．

答案：f(1)>g(0)>g(－1)

3．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，

结合f(x)的图象知所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3]．

4．(应用型)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．

解：证明：(1)由f＝－f，

且f(－x)＝－f(x)，

所以f(x＋3)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

且f(－1)＝－f(1)＝－2，

又T＝3是y＝f(x)的一个周期，

所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.