2021版新高考数学一轮教师用书：第4章【经典微课堂】——规范答题系列1　高考中的解三角形问题

(对应学生用书第87页)[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．[典例示范]　(本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos ∠ADB①；(2)若DC＝2，求BC②.[信息提取]　看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.[规范解答]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由题设知，＝，··············································2分所以sin ∠ADB＝.······························································3分由题设知，∠ADB＜90°，所以cos ∠ADB＝＝.·········6分(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.··························8分在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25. ················································································11分所以BC＝5. ·······································································12分[易错防范]　易错点防范措施想不到先求sin ∠ADB，再计算cos ∠ADB.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1常作为隐含条件，必须熟记于心求不出cos∠BDC.互余的两个角α，β满足sin α＝cos β[通性通法]　求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．[规范特训]　(2019·皖南八校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＋2b＝2c cos A.(1)求角C；(2)已知△ABC的面积为，b＝4，求边c的长．[解]　(1)∵a＋2b＝2c cos A，∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C cos A，则sin A＋2sin (A＋C)＝2sin C cos A，化简得sin A＋2sin A cos C＝0.由0＜A＜π，得sin A＞0，则cos C＝－.由0＜C＜π，得C＝.(2)△ABC的面积为ab sin C＝.又b＝4，sin C＝，∴a＝1.∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋16－2×1×4×(－)＝21，∴c＝.