2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第8讲　n次独立重复试验与二项分布

第8讲　n次独立重复试验与二项分布

基础知识整合

1．条件概率及其性质

2．事件的相互独立

(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．

(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．

(2)二项分布

在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B.

2．A，B都发生的事件为AB.

3．A，B都不发生的事件为.

4．A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)．

5．A，B至多一个发生的事件为(A)∪(B)∪()．

1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为(　　)

A.  B．1

C. D.

答案　C

解析　1－×＝，选C.

2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)

A. B.  C. D.

答案　A

解析　设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.则P(AB)＝P(A)P(B)＝×2×3＝.

3．(2019·东北三省四市教研联合体高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

答案　A

解析　P＝1－n≥，解得n≥4.故选A.

4．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，解得p＝.

故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C×4－C××3＝.

5．由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.

6．袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　前3次都取不到红球的概率为3，第4次首次取到红球的概率为，4个独立事件同时发生的概率为3×＝.

核心考向突破

考向一　条件概率

例1　(1)(2020·辽宁沈阳东北育才学校月考)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，则

P(A)＝C×2×＋C×3＝，

P(AB)＝××＝，所以P(B|A)＝＝.

(2)(2019·吉林长春质量检测三)若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P(A)＝1－＝1－＝，P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝.

条件概率的求法

(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．

 (2)基本事件法：用古典概型的概率公式，先求事件A包含的基本事件个数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件个数n(AB)，得P(B|A)＝.

[即时训练]　1.(2019·重庆二诊)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场”，

则P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝＝，则P(B|A)＝＝.

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)

A．0.4  B．0.6

C．0.75  D．0.8

答案　D

解析　设 “某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝＝＝0.8.故选D.

考向二　相互独立事件的概率

例2　(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

(1)求P(X＝2)；

(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

解　(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．

因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.

(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.

求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积；

(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

[即时训练]　3.(2019·广州模拟)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人必考的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校对以往2000名学员首次参加科目二考试的情况进行了统计，得到下表：

若以上表得到的男、女学员首次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．

解　事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过，事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i＝1,2,3,4,5)．此驾校男学员每次通过科目二考试的概率为＝，女学员每次通过科目二考试的概率为＝.

(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费，则

P(M)＝P(A1B1＋A11B2＋1A2B1＋1A21B2)

＝P(A1B1)＋P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(1A21B2)

＝×＋××＋××＋×××＝.

(2)X的可能取值为400,600,800,1000,1200.

P(X＝400)＝P(A3B3)＝×＝，

P(X＝600)＝P(A33B4＋3A4B3)

＝××＋××＝，

P(X＝800)＝P(3A43B4＋A334＋34B3)

＝×××＋××＋××

＝，

P(X＝1000)＝P(3A434＋343B4)

＝×××＋×××＝，

P(X＝1200)＝P(3434)

＝×××＝.

则X的分布列如下．

故E(X)＝400×＋600×＋800×＋1000×＋1200×＝510.5(元)．

考向三　独立重复试验与二项分布

例3　(2020·浙江绍兴摸底)某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；

(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列．

解　(1)设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，

所以有＝，n＝5，

所以“五环”卡的张数为4，

故抽奖者获奖的概率为＝.

(2)由题意可知本题中的离散型随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B，ξ的可能取值为0,1,2,3,4.

P(ξ＝0)＝C×0×4＝，

P(ξ＝1)＝C×1×3＝，

P(ξ＝2)＝C×2×2＝，

P(ξ＝3)＝C×3×1＝，

P(ξ＝4)＝C×4×0＝，

ξ的分布列如下．

求解独立重复试验的概率时应注意的问题

(1)概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．

[即时训练]　4.(2019·天津新华中学模拟)甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中目标的概率为，乙每次投中目标的概率为，假设两人投篮是否投中相互之间没有影响，每次投篮是否投中相互之间也没有影响。

(1)求甲至少有一次未投中目标的概率；

(2)记甲投中目标的次数为X，求X的概率分布；

(3)求甲恰好比乙多投中目标2次的概率．

解　(1)记“甲连续投篮3次，至少1次未投中目标”为事件A，则其对立事件为“3次全都投中”．由题意，知投篮是否投中目标相互之间没有影响，投篮3次，相当于3次独立重复试验，故P(A)＝1－P()＝1－3＝，故甲至少有1次未投中目标的概率为.

(2)由题意，知X的可能取值是0,1,2,3，

P(X＝0)＝C×3＝，

P(X＝1)＝C×1×2＝，

P(X＝2)＝C×2×1＝，

P(X＝3)＝C×3＝，

X的概率分布如下．

(3)设甲恰比乙多投中目标2次为事件B，甲恰投中目标2次且乙恰投中目标0次为事件B1，甲恰投中目标3次且乙恰投中目标1次为事件B2，则B＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．

P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝，

所以甲恰好比乙多投中目标2次的概率为.