2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第5章第3讲　平面向量的数量积及应用

 第3讲　平面向量的数量积及应用基础知识整合 1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积  3．向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·ca·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤ 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足结合律，即(a ·b)·c≠a·(b·c)．3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.4．有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b<0)．1．(2019·重庆模拟)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)A．－  B．0 C．3  D.答案　C解析　因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)A.  B．2 C．5  D．50答案　A解析　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.故选A.3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A.  B. C.  D.答案　B解析　设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B. 4．(2019·泉州质检)已知正六边形ABCDEF的边长为1，则·(＋)的值为(　　)A.  B．－C.  D．－答案　D解析　由图知，与的夹角为120°.∴·(＋)＝·＋·＝cos120°－12＝－.5．(2019·北京高考)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.答案　8解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．答案　1　1解析　·＝(＋)·＝(＋)·＝||2＋·.因为⊥，所以·＝0.所以·＝12＋0＝1.设AE＝λAB(0≤λ≤1)，则·＝(＋)·＝·＋·＝λ||2(0≤λ≤1)，所以·的最大值为1. 核心考向突破 考向一　平面向量数量积的运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)(2019·绍兴模拟)已知向量a，b满足|a|＝，(a＋2b)⊥a，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)A．－  B. C.  D．－答案　A解析　∵(a＋2b)⊥a，∴(a＋2b)·a＝2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝0，∴|a||b|cos〈a，b〉＝－1，即|b|cos〈a，b〉＝－1，∴向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝－，故选A.(2)(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案　－1解析　∵AD∥BC，且∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.又AE＝BE，∴∠EAB＝30°.∴∠E＝120°.∴在△AEB中，AE＝BE＝2.∴·＝(＋)·(＋)＝－2＋·＋·＋·＝－12＋2×2×cos30°＋5×2×cos30°＋5×2×cos180°＝－12＋6＋15－10＝－1. 求向量a，b的数量积a·b的三种方法(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．  [即时训练]　1.(2019·湖北荆门模拟)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.  B.C．－  D．－答案　A解析　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝.2．(2020·江西白鹭中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.答案　4 解析　由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(2,0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1，1)·(2,0)＝2＋2＝4.准设计考向，多角度探究突破考向二　平面向量数量积的性质 角度1　　平面向量的垂直例2　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)A.  B.C.  D.答案　D解析　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b，得－3(1＋m)＝2(2＋n)，①由c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，②联立①②，解得故选D.(2)(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知与的夹角为150°，||＝||＝，＝λ＋μ，且⊥，则的值为________．答案　解析　由⊥，得·＝0，即(λ＋μ)·(－)＝(λ－μ)·－λ2＋μ2＝(λ－μ)××1×－λ×()2＋μ×12＝μ－λ＝0，因而＝.角度2　　平面向量的模　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3　(1)(2019·济南模拟)设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)A．2  B．2 C．4  D．4答案　B解析　∵a·(a－b)＝0，|a|＝1，∴a2＝a·b＝1，又|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝3，∴b2＝4，∴|2a＋b|＝＝＝2.故选B.(2)(2020·湖南雅礼中学模拟)在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|＝(　　)A.  B．3 C．4  D．2答案　C解析　由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，则原式＝2||＝2＝4.角度3　　平面向量的夹角　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4　(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.  B. C.  D．π答案　A解析　由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又因为|a|＝|b|，所以a·b＝3×2－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.故选A.(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.答案　解析　由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝. 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；②|a±b|＝＝；③若a＝(x，y)，则|a|＝.  [即时训练]　3.(2019·济宁模拟)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)A．矩形  B．正方形 C．菱形  D．梯形答案　C解析　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.4．(2019·江西六校联考)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.答案　4解析　由|a＋b|＝3知|a|2＋|b|2＋2a·b＝9，又|a|＝2，|b|＝3，∴2a·b＝－4，∴|a＋2b|＝＝4.5．(2019·安徽“江淮十校”联考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角余弦值为________．答案　－解析　∵|a|＝|a＋2b|，∴|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，∴a·b＝－|b|2，∴cosθ＝＝＝－.考向三　向量运算的最值或范围问题例5　(1)(2019·四川双流中学模拟)已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－，若||＝1，则||的最大值为(　　)A.－1  B.－1 C.＋1  D.＋1答案　D解析　因为||＝||＝1，·＝－，所以cos∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝，如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题意知点C(x，y)在以B为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知，当点C(x，y)运动到点D时，||取最大值，即||max＝||＝||＋1＝＋1，故选D.(2)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．答案　[2,5]解析　如图，在平行四边形ABCD中，设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)·.又·＝2×1×cos＝1，2＝4，2＝1，∴·＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴2≤·≤5，即·的取值范围是[2,5]． 与向量相关的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．  [即时训练]　6.(2019·湖南师大附中模拟)已知a，b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的取值范围为(　　)A．[1,1＋]  B．[2－，2＋]C．[，2]  D．[3－2，3＋2]答案　B解析　设O＝a＋b，O＝c，则A＝O－O＝c－(a＋b)，由|a|＝|b|＝1，a⊥b，得|O|＝|a＋b|＝，又|A|＝|c－a－b|＝2，所以点B在以A为圆心，2为半径的圆上运动，故2－≤|c|≤2＋，故选B.7．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是_______，最大值是_______．答案　0　2解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则＝(1,0)，＝(0,1)．设a＝λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5(＋)＋λ6(－)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a|＝　.∵λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4或λ1－λ3＋λ5－λ6＝4，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝2时可取到最大值，∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最大值为＝2.   学科素养培优（九）   向量的数量积在平面几何中的应用 (2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)A．－15  B．－9 C．－6  D．0答案　C解析　解法一：(基向量法)如图所示，连接MN，由＝2，＝2可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则＝3＝3(－)，由题意可知，2＝12＝1，·＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算律可得，·＝3(－)·＝3·－32＝－3－3＝－6.故选C. 解法二：(坐标法)在△ABC中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况ON⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O，C，M，B.故·＝·＝－－＝－6.故选C.答题启示向量与平面几何综合问题的解法(1)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(2)坐标法若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对点训练(2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A．20  B．15 C．36  D．6答案　C解析　解法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－，所以·＝·＝·＝＝×＝36.故选C. 解法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36.故选C.