2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第5讲

第5讲　指数与指数函数[考纲解读]　1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．②正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝ax (a>0且a≠1)a>10<a<1图象1．概念辨析(1)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)(2)[(－2)6] ＝(－2)6×＝(－2)3＝－8.(　　)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答案　C解析　函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.(2)化简 的结果是________．答案　－解析　由题意得x<0，所以＝＝＝＝－.(3)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.答案　解析　依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.(4)若指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．答案　(－2，－1)解析　因为指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，所以0<a＋2<1，解得－2<a<－1.所以实数a的取值范围是(－2，－1)．  题型 　指数幂的化简与求值1．求值：(0.064) －0＋[(－2)3] ＋16－0.75＋(0.01) ＝________.答案　解析　(0.064) －0＋[(－2)3] ＋16－0.75＋(0.01) ＝－1＋(－2)－4＋(24) ＋＝－1＋＋2×4＋＝－1－1＋＋2－3＋＝－1＋＋＋＝＝.答案　解析　3．若x＋x＝3，则的值为________．答案　解析　由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18，所以原式＝＝. 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．化简a·＋()5＋的值为________．答案　－解析　由题意，得a<0，所以原式＝a·＋a＋|a|＝a··＋a－a＝－.2．(2018·兰州一中模拟)已知＋b＝1，则＝________.答案　3解析　题型 　指数函数的图象及应用1．(2018·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)A．y＝   B．y＝|x－2|C．y＝2x－1   D．y＝log2(2x)答案　A解析　函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A(1,1)，经检验知，只有选项A中函数的图象不经过点A.2．(2018·青岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)答案　A解析　函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.条件探究1　举例说明2中函数改为f(x)＝2|x－1|，其图象是(　　)答案　B解析　f(x)＝2|x－1|＝所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A，C，D.条件探究2　举例说明2中函数改为y＝21－x＋m，若此函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围如何？解　因为y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，则要使函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m≤－2. (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.如举例说明1.(2)指数函数图象的应用①已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．②对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数y＝3x，y＝5x，y＝x在同一坐标系中的图象是(　　)答案　B解析　沿直线x＝1，自下而上先后为y＝x，y＝3x，y＝5x的图象．故选B.2．若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．答案　(－∞，0]解析　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．题型 　指数函数的性质及其应用角度1　比较指数幂的大小1．设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>c  B．b>a>c  C．c>a>b  D．c>b>a答案　A解析　因为a＝(22)0.8＝21.6，b＝(23)0.46＝21.38，c＝(2－1)－1.2＝21.2，函数y＝2x在R上单调递增，且1.2<1.38<1.6，所以21.2<21.38<21.6，即c<b<a.角度2　解指数方程或不等式2．(2018·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案　解析　当1－a>0，即a<1时，41－a＝2a－(a－1)，解得a＝；当1－a<0，即a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，此方程无解．综上所述，a＝.3．不等式2－x2＋2x>x＋4的解集为________．答案　{x|－1<x<4}解析　∵2－x2＋2x >x＋4，∴ x2－2x >x＋4，∴x2－2x<x＋4，∴x2－3x－4<0，解得－1<x<4.角度3　探究指数型函数的性质4．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 1．比较幂值大小的常见类型及解决方法同底不同指利用指数函数单调性进行比较同指不同底利用幂函数单调性进行比较既不同底又不同指常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明3.3．两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值．如举例说明4.4．对于形如y＝af(x)的函数的单调性(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．如举例说明4(1)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c  B．a>c>bC．c>a>b  D．b>c>a答案　A解析　∵指数函数y＝0.4x为减函数，0.2<0.6，∴0.40.2>0.40.6，∴b>c.∵幂函数y＝x0.2为增函数，2>0.4，∴20.2>0.40.2，∴a>b，∴a>b>c.2．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间为________．答案　(－∞，1]解析　设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调减区间为(－∞，1]．3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案　(－3,1)解析　当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1)．