2019版高中数学二轮复习教师用书：专题五第2讲 大题考法——立体几何的综合问题
展开第2讲 大题考法——立体几何的综合问题
考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题
【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，．
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，．
[审题指导]
[规范解答] (1)证明：在平面ABCD内，
因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 2分
又BC⊄平面PAD❶，AD⊂平面PAD， 3分
故BC∥平面PAD.4分
(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 6分
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD❷，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 8分
因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM. 9分
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，
PM＝x，PC＝PD＝2x．
取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD❸，
所以PN＝x. 10分
因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2．
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 11分
所以四棱锥PABCD的体积
V＝××2＝4. 12分
❶处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．
❷处易忽视通过侧面PAD⊥底面ABCD可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．
❸处易忽视如何表示△PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通．
[技法总结] 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型
[变式提升]
1．(2018·天水二模)在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．
(1)求证：平面POB⊥平面PAC；
证明 由条件可知，
Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．
∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°．
∴AC⊥BO．
∵PA＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．
平面PAD⊥平面ABCD．
∵
∴PO⊥平面ABCD．
又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．
又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB．
∵AC⊂平面PAC，
∴平面POB⊥平面PAC．
(2)求多面体ABCDPQ的体积．
解 取AB中点为E，连接CE，QE．
由(1)可知，PO⊥平面ABCD．
又∵AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB．
又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．
∴VABCDPQ＝VPADQEC＋VQCEB＝S△PAD·|AE|＋S△CEB·|PO|＝×22×1＋×＝．
考向二 平面图形的翻折与探索性问题
【典例】 如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，AC＝2，△ABC是等边三角形，F为线段AC的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图②所示．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)试问：在线段BC上是否存在一点E，使得＝？若存在，请求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 AD＝CD＝2，AC＝2，
从而AD2＋CD2＝AC2，
故AD⊥CD，△ADC是等腰直角三角形．
又F为线段AC的中点，所以DF⊥AC．
连接BF(图略)，因为△ABC是等边三角形，
所以BF⊥AC，
又DF∩BF＝F，故AC⊥平面BDF．
又BD⊂平面BDF，所以AC⊥BD．
(2)解 线段BC上存在点E，使得＝，且E为线段BC的中点．因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，且DF⊥AC，所以DF⊥平面ABC，故DF为三棱锥DFCE和DABC的高，
所以＝＝＝＝·＝．
又F为线段AC的中点，
所以＝，故＝，
从而E为线段BC的中点，
即当E为线段BC的中点时，＝．
[技法总结]
1．求解平面图形折叠问题的关键和方法
(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．
(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．
2．求解探索性问题的类型及策略
问题类型 | 求解策略 |
对命题条 件的探索 | (1)先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明； (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； (3)将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件 |
对命题结 论的探索 | (1)探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么； (2)探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在 |
[变式提升]
2．如图①，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到四棱锥PABCE，如图②．
(1)求证：AP⊥平面ABCE；
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l．
证明 (1)在△CDE中，
∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，
由余弦定理得CE＝2.连接AC，
∵AE＝2，∠AEC＝60°，
∴AC＝2.又AP＝，
∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE．
同理，AP⊥AC．
而AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，
AE⊂平面ABCE，故AP⊥平面ABCE．
(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，
∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，
∴AB∥l．
