2019版高中数学二轮复习教师用书：专题八函数与导数

专题八　 函数与导数

函数与导数问题重在“分”——分离、分解

函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．

【典例】 已知函数f(x)＝ln x＋x2－(a＋1)x．

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－2，求f(x)的单调区间；

(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围．

[解题示范]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

由已知得f′(x)＝＋ax－(a＋1)，则f′(1)＝0．

而f(1)＝－－1，

∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－－1．

∴－－1＝－2，解得a＝2．

∴f(x)＝ln x＋x2－3x，

f′(x)＝＋2x－3．

由f′(x)>0，得0<x<或x>1，

由f′(x)<0，得<x<1，

∴f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为．

(2)由<，得＋x－(a＋1)<＋－，即－<在区间(0，＋∞)上恒成立．

设h(x)＝－，

则h′(x)＝＋＝，

由h′(x)>0，得0<x<e，

因而h(x)在(0，e)上单调递增，

由h′(x)<0，得x>e，

因而h(x)在(e，＋∞)上单调递减．

∴h(x)的最大值为h(e)＝e－，

∴>e－，故a>2e－－1.从而实数a的取值范围为．

分解：问题1分解为三个问题：①求f′(x)且利用切线求参数a；②求函数f(x)＝ln x＋x2－3x的导数；③求不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0的解集．

分离、分解：通过分离参数并构造函数，将问题转化为求函数h(x)＝－在(0，＋∞)上的最大值问题．

函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数，可把题目分解成几个小题，也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．