2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级边缘送分专题常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合

边缘送分专题

[特别说明]　之所以称其为“边缘”，是指临界于高考考查的边缘地带．高考不考正常，因为近几年这些考点不在热门考点之列；高考一旦考查也正常，因为这些考点在考纲的规定范围．为既节省有限的二轮备考时间，又防止一旦考查考生会“眼生手冷”而遗憾失分，所以将这些考点单独集结成一个专题，供考生利用课余时间适当关注．


常用逻辑用语

[题组练透]
1．(2018·成都检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　在锐角△ABC中，根据正弦定理＝，知sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，而正切函数y＝tan x在上单调递增，所以A＞B⇔tan A＞tan B．故选C.
2．(2018·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则＞，则下列为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B　对于命题p，当x0＝0时，1≥0成立，所以命题p为真命题，命题綈p为假命题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，＜，所以命题q为假命题，命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，故选B.
3．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
解析：选D　因为命题“∃x0∈R,4x＋(a－2)x0＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.
4．(2019届高三·湖北八校联考)下列说法正确的个数是(　　)
①“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
③“∃x0∈R，x－x01”的否定是(　　)
A．∃x0∈R，x0＋cos x0－ex00且b≠1)
解析：选C　观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.
9．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)
A．16 B.
C．2 D.
解析：选B　围成的图形如图中阴影部分所示，
联立解得
∴M(4,2)．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积S＝ [－(x－2)]dx＝＝.


10．在下列结论中，正确的个数是(　　)
①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2N”是“M>N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
∵·＝·，
∴·(－)＝0，即·＝0，
∴⊥.
同理可知⊥，⊥，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
∵y＝x是减函数，
∴当M >N时，MN时，MN”是“M>N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
11．(2018·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
解析：选B　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1个，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是(　　)


解析：选C　向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.
13．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为(　　)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
14．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如＝＋.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得＋.形如(n＝5,7,9，11，…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选A　根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即＝＋＝＋.
15．一个人骑车以6 m/s的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，那么此人(　　)
A．可在7秒内追上汽车
B．不能追上汽车，但其间最近距离为16 m
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14 m
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m
解析：选D　因为汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S1＝－25＋6t，汽车在时间t内的位移为S2＝，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－＝－(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7 m，故选D.
16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的(　　)
A．己亥年 B．戊戌年
C．辛丑年 D．庚子年
解析：选D　由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.
二、填空题
17. dx＝________.
解析：dx＝＝＋1－＝.
答案：
18．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：______________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点
19．若n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为________．
解析：因为n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，
所以C＝C，所以n＝4，
由直线y＝4x与曲线y＝x2，可得交点坐标为(0,0)，(4,16)，作出直线y＝4x与y＝x2围成的封闭图形如图中阴影部分所示，所以直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭区域面积为 (4x－x2)dx＝＝.
答案：
20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
答案：3 300
21．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
答案：16
22．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第 2 019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”．
解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980