2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题六　数　列

重点增分专题六　数　列
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
等差数列的基本运算·T4
等差数列的通项公式、前n项和公式及最值·T17
等比数列的通项公式、前n项和公式·T17
Sn与an的关系、等比数列求和·T14
2017
等差数列的通项公式、前n项和公式·T4
数学文化、等比数列的概念、前n项和公式·T3
等差数列的通项公式、前n项和公式及等比中项·T9
等差数列的通项公式、前n项和公式、裂项相消法求和·T15
等比数列的通项公式·T14
2016
等差数列的基本运算·T3
等差数列的通项公式、前n项和公式、创新问题·T17
数列的递推关系及通项公式、前n项和公式·T17
等比数列的运算及二次函数最值问题·T15

(1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算，两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．
(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多．

[大稳定]
1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　 　B．－10
C．10 D．12
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＝，则数列{an}的公比q为(　　)
A．4 B．2
C. D.
解析：选C　因为＝≠2，所以q≠1.所以＝＝1＋q5，
所以1＋q5＝，所以q＝.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝13，求Sn.
解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，　　①
由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，　②
联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)∵T3＝1＋q＋q2，∴1＋q＋q2＝13，
解得q＝3或q＝－4，
由a2＋b2＝3，得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.
由Sn＝na1＋n(n－1)d，
得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.
[解题方略]　等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
[小创新]
1.设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，
∴＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，
∴an＋1－an＝2，
∴数列{an}是公差d为2的等差数列．
又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，
∴Sn＝n＋×2＝n2.
答案：n2
2.设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.
解析：由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，∵对任意正整数n，上式恒成立，∴得∴数列{an}的公差为2.
答案：2
3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析：选B　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.

[大稳定]
1.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－　　　　　　 　B．－
C. D．－或
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3an＋1，所以数列{an}是递减数列，
所以解得