2019届高三文科数学二轮复习配套教案：第一篇专题四第2讲　数列求和及简单应用

第2讲　数列求和及简单应用

(对应学生用书第26页)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

1.(2018·全国Ⅲ卷,文17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,
解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
2.(2016·全国Ⅰ卷,文17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则
Sn==-.
3.(2016·全国Ⅱ卷,文17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d=.
所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,bn=.
当n=1,2,3时,1≤f(n),故f(n)的最小值是f(1)=.
由>,得m0,
所以q=3,
所以an=a1qn-1=3n-1.
②因为bn=log33n-1+n=2n-1,
所以
=
=-,
所以Tn=1-=.
(2)①设等比数列{-n}的公比为q,则q===2,
从而-n=(3-1)×2n-1,
故an=(n+2n)2;
②因为an=(n+2n)2,
所以an-n2=n·2n+1+4n,
记Tn=22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
2Tn=23+2·24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2,
所以-Tn=22+23+…+2n+1-n·2n+2
=2n+2-4-n·2n+2
=(1-n)·2n+2-4,
所以Tn=(n-1)·2n+2+4.
故Sn=Tn+=(n-1)·2n+2+.
数列的综合问题
【例5】 (1)(2018·安徽涡阳一中高三最后一卷)古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,前30天共织布390尺,记女子每天织布的数量构成数列{an}.
①在30天内,该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少?
②设数列的前n项和为Tn,证明:Tn