2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题七第1讲　选修4－4：坐标系与参数方程

第1讲　选修4－4：坐标系与参数方程 [考情考向·高考导航]高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1 所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.2．(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)曲线C参数方程为由①2＋2得x2＋2＝1，又∵－1＜≤1，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．由，得直线l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)C上的点(cos θ，2sin θ)到直线l的距离d＝＝当sin＝－1时，dmin＝.即C上的点到l距离的最小值为.[主干整合]1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)(a＞0)且垂直于极轴；ρcos θ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．热点一　极坐标方程及其应用数学运算素养数学运算——极坐标应用问题中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，在极坐标应用中加强运算求解能力和转化与化归思想.[例1]　(2019·全国Ⅲ卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．[审题指导]　(1)依据条件直接写出圆的极坐标方程，因为是圆弧，所以要对极角θ进行范围限制．(2)根据点P在三段圆弧上的不同情况分类讨论，由|OP|＝分别求出极角，从而确定点P的极坐标．[解]　(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.极坐标方程问题的求解方法有关曲线的极坐标方程的问题中，常见的有直线与圆的交点问题，圆心到直线的距离问题等．一般情况下，解决的方案是：化极坐标方程为平面直角坐标方程，然后用平面解析几何的方法解决问题，必要时，还要把结果返回到极坐标系中．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.连结OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos＝2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.热点二　参数方程及其应用[例2]　(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[审题指导]　(1)直接消去参数可得曲线的直角坐标方程，注意对相关系数的分类讨论；(2)利用直线参数方程中参数的几何意义求解．[解析]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，∴＋＝1.直线l的参数方程为(t为参数)∴＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，当α＝90°时，x＝1.综上，l：(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．当a≠90°，把l代入曲线C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16，化简得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－4tan α－12＝0，∵点(1,2)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，即＝2，∴tan α＝－2，∴直线l的斜率k＝－2.参数方程与普通方程的互化及应用技巧(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．但在消参时要注意参数范围等价变形．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析：(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点且当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．热点三　极坐标与参数方程的综合应用[例3]　(2020·广东七校联考)已知椭圆C：(φ为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为.(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程．(2)利用椭圆C的极坐标方程证明＋为定值，并求△AOB面积的最大值．[审题指导]　(1)利用参数法求出轨迹E的参数方程，再化为普通方程即可；(2)求出椭圆C的极坐标方程，由题设条件设出A，B两点的极坐标，代入椭圆C的极坐标方程即可证明＋为定值，利用极坐标建立关于△AOB面积的函数解析式，从而求出△AOB面积的函数解析式，从而法度出△AOB面积的最大值．[解析]　(1)点D的直角坐标为(2,2)．由题意可设点A的坐标为(2cos α，sin α)，则AD的中点M的坐标为，所以点M的轨迹E的参数方程为(α为参数)，消去α可得E的普通方程为(x－1)2＋4(y－)2＝1.(2)椭圆C的普通方程为＋y2＝1.化为极坐标方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，变形得ρ＝.由OA⊥OB，不妨设A(ρ1，θ)，B，所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)．所以△AOB的面积S＝ρ1ρ2＝＝＝易知当sin 2θ＝0时，△AOB的面积取得最大值1.1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(2020·惠州质检)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)，(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．解析：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)将代入圆C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，∴4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或.限时45分钟　满分50分解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)1．(2020·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．解析：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x.由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以(x－)2＋(y－1)2＝4，所以曲线C的参数方程为(α为参数)．(2)联立得所以|OA|＝4，同理，|OB|＝2.又∠AOB＝，所以S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×4×2×＝2，即△AOB的面积为2.2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2.经检验，点P在曲线ρcos ＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos ＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，则ρ＝4cos θ，因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.3．(2020·成都摸底)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋2cos2θ)＝3.(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点M(1,1)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AM|＋|BM|的值．解析：(1)由直线l的参数方程消去参数t，得x－1＝(y－1)，化简，得直线l的普通方程为x－y＋1－＝0.曲线C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos2θ＝3，∴(x2＋y2)＋2x2＝3，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.(2)由题易知，点M在直线l上．将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋2＝1，化简，得t2＋2t＋＝0，此时Δ＝＋＞0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1＋t2＝－，t1t2＝，∴|AM|＋|BM|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝2＋.4．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程．(2)若射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.解析：(1)因为曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.因为曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1，得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化简得ρ＝2cos θ.(2)依题意设A，B，因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，同理，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C2的极坐标方程，得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.5．(2020·长春模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．解析：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设直线l的参数方程为(t为参数)，因为直线l与曲线C2：y2＝4x有两个交点，因此sin α≠0.联立直线l与曲线C1：＋y2＝1，可得(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0，则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝，联立直线l与曲线C2：y2＝4x，可得t2sin2α－4tcos α－4＝0，则|FM|·|FN|＝|t3t4|＝，所以＝＝·＝·∈.