课时作业(二十九) 数列的概念与简单表示法 练习

课时作业(二十九)　数列的概念与简单表示法一、选择题1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　)A．①②③　　　　　B．①②④C．②③④          D．①③④解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．答案：A2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－3          B．an＝2n＋3C．an＝  D．an＝解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.答案：C3．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋(p，q为常数)，且a2＝，a4＝，则a8＝(　　)A.      B.C.      D．2解析：由题意知，解得.∴a8＝8p＋＝8×＋＝.答案：B4．(2017·福建福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝(　　)A．1      B．0C．2 018  D．－2 018解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，……，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.答案：B5．(2017·辽宁省实验中学分校月考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)A．2n  B．2n－1C．2n  D．2n－1解析：当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.答案：C6．若a1＝，an＝4an－1＋1(n>1)，当an>100时，n的最小值为(　　)A．3  B．4C．5  D．6解析：由a1＝，an＝4an－1＋1，(n>1)得，a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100.答案：C二、填空题7．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3个，有6个；n＝4时，有10个；……∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.答案：an＝8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.故an＝答案：an＝9．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.解析：解法一：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.解法二：由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，则Sn＋1＋＝3，又S1＋＝，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，∴S5＝＝121.答案：1　121　三、解答题10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解析：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.12．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解析：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋.∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5<<6，∴－10<a<－8.故a的取值范围为(－10，－8)．