2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题7第2讲　选修4－5　不等式选讲


第2讲　选修4－5　不等式选讲

[做小题——激活思维]
1．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为________．
[答案]　
2．不等式|3x－1|≤2的解集为________．
[答案]　
3．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|b>c，若＋＋≥0恒成立，则n的取值范围是________．
[答案]　(－∞，4]
5．函数y＝5＋的最大值为________．
[答案]　6
[扣要点——查缺补漏]
1．|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T2.
(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
2．不等式的证明
(1)绝对值三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.如T3.
(2)算术—几何平均不等式
如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．如T1，T4.
(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．


　含绝对值不等式的解法(5年8考)

[高考解读]　绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.
[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
切入点：将g(x)＝|x＋1|＋|x－1|的解析式化为分段函数的形式．
关键点：正确求出f(x)≥g(x)的解集，然后利用集合间的包含关系求解．
[解]　(1)法一：当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
法二：g(x)＝
当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋4，在同一平面直角坐标系中，画出g(x)与f(x)的图象如图，易求得A(－1,2)，B，所以f(x)≥g(x)的解集为.

(2)法一：当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
法二：当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时f(x)≥2，即－x2＋ax＋4≥2.
当x＝0时，－x2＋ax＋4≥2成立．
当x∈(0,1]时，－x2＋ax＋4≥2化为a≥x－.
而y＝x－在(0,1]上单调递增，所以最大值为－1，所以a≥－1.
当x∈[－1,0)时，－x2＋ax＋4≥2化为a≤x－.
而y＝x－在[－1,0)上单调递增，所以最小值为1，
所以a≤1.
综上，a的取值范围为[－1,1]．
[教师备选题]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

[解]　(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，
f(x)＜－1的解集为.
所以|f(x)|＞1的解集为.


|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c>0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义解题
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)或|x－a|－|x－b|≥c(c>0)的不等式，用绝对值的几何意义求解更直观.

1．(绝对值不等式的解法、恒成立问题)已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.
(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；
(2)求不等式|f(x)－|x＋2||>3的解集．
[解]　(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，
由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，得a≥2或a≤－4.
∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||>3等价于|x－1|－2|x＋2|>3或|x－1|－2|x＋2|3时，f(3)＝a＋，由f(3)(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab0的解集；
(2)若x∈R时，不等式f(x)≤a＋x恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)f(x)＝|x＋1|－|2x－1|＝
当x0得x>2，即解集为∅；
当－1≤x≤时，由3x>0得x>0，解集为；
当x>时，由－x＋2>0得x0的解集为{x|0