人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切优秀第1课时导学案及答案

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第1课时 两角和与差的正弦








1.两角和与差的正弦公式


(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β.


(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β.


2.辅助角公式


f(x)＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).


思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？


[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，加减相同”．





1.cs 17°sin 13°＋sin 17°cs 13°的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)


C．eq \f(\r(3),2)D．以上都不对


A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]


2.函数y＝sin x－cs x的最小正周期是( )


A．eq \f(π,2)B．π


C．2πD．4π


C [y＝sin x－cs x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x－\f(\r(2),2)cs x))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，∴函数的最小正周期为T＝2π.]


3.已知α为锐角，sin α＝eq \f(3,5)，β是第四象限角，cs(π＋β)＝－eq \f(4,5)，则sin(α＋β)＝________.


0 [∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，


∴cs α＝eq \f(4,5).


又β为第四象限角，且cs(π＋β)＝－cs β＝－eq \f(4,5)，


∴cs β＝eq \f(4,5)，sin β＝－eq \f(3,5).


∴sin(α＋β)＝eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝0.]





【例1】(1)eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝( )


A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)


(2)求sin 157°cs 67°＋cs 23°sin 67°的值．


(3)求sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)的值．


[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用．


(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．


(1)C [eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(sin17°＋30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(sin 17°cs 30°＋cs 17°sin 30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)


＝eq \f(cs 17°sin 30°,cs 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]


(2)[解] 原式＝sin(180°－23°)cs 67°＋cs 23°sin 67°


＝sin 23°cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.


(3)[解] sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)


＝sin(θ＋15°＋60°)＋cs(θ＋15°＋30°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)


＝sin(θ＋15°)cs 60°＋cs(θ＋15°)sin 60°＋cs(θ＋15°)·


cs 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－eq \r(3)cs(θ＋15°)


＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)－eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝0.





1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：


(1)化为特殊角的三角函数值；


(2)化为正负相消的项，消去，求值；


(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．


2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．








1.化简下列各式：


(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))；


(2)eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)．


[解](1)原式＝sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＋2sin xcs eq \f(π,3)－2cs xsin eq \f(π,3)－eq \r(3)cs eq \f(2π,3)cs x－eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋sin x－eq \r(3)cs x＋eq \f(\r(3),2)cs x－eq \f(3,2)sin x


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cs x＝0.


(2)原式＝eq \f(sin[α＋β＋α]－2csα＋βsin α,sin α)


＝eq \f(sinα＋βcs α－csα＋βsin α,sin α)


＝eq \f(sin[α＋β－α],sin α)


＝eq \f(sin β,sin α).


【例2】 设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，若cs α＝－eq \f(1,2)，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，求sin(α＋β)的值．


[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．


[解] 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，


因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs β＝eq \f(1,2).


所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β


＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),2).





1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cs(α－β)的值．


[解] sin(α－β)＋cs(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),4)－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)－eq \f(3,4)＝－1.


2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？


[解] 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2).


因为β为第三象限，所以cs β＝－eq \f(1,2).


所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝0.





1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．


2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．


3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．


提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．





[探究问题]


1.函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？


[提示] 不对．因为sin x＋cs x


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2) cs x))


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x·cs \f(π,4)＋cs x·sin \f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


所以函数的最大值为eq \r(2).


2.函数f(x)＝3sin x＋4cs x的最大值等于多少？


[提示] 因为f(x)＝3sin x＋4cs x


＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cs x))，


令cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，


则f(x)＝5(sin xcs φ＋cs xsin φ)＝5sin(x＋φ)，


所以函数的最大值为5.


3.如何推导asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a)))公式？


[提示] asin x＋bcs x


＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x))，


令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，则


asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)(sin xcs φ＋cs xsin φ)


＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝eq \f(b,a)确定，或由sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定)．


【例3】 设函数f(x)＝sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).


(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；


(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．


[思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．


[解](1)f(x)＝sin x＋sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＝sin x＋eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \f(3,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x


＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,6)＋cs xsin \f(π,6)))＝eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


当sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－1时，f(x)min＝－eq \r(3)，


此时x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以x＝eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)．


所以f(x)的最小值为－eq \r(3)，x的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)))).


(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \r(3)倍，得y＝eq \r(3)sin x的图像；


然后将y＝eq \r(3)sin x的图像上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图像.





(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？


[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，


当2kπ－eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


即2kπ－eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)时，函数为增函数；


当2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，


即2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)时，函数为减函数．


所以函数f(x)的单调增区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，


函数f(x)的单调减区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)．





1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．


2.函数图像可通过y＝sin x→y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))→y＝


eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的顺序得到．








1.两角和与差的正弦公式的结构特点


(1)公式中的α，β均为任意角．


(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．


2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系





3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.





1.若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )


A．－eq \f(7\r(2),10) B．eq \f(7\r(2),10)


C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)


A [∵cs α＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，


∴sin α＝－eq \f(3,5)，由两角和的正弦公式得


sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs α·sin eq \f(π,4)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).]


2.函数f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为( )


A．[－2,2] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))


C．[－1,1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))


B [f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＋


eq \f(1,2)sin x＝eq \f(3,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


所以函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]．


故选B．]


3.sin 155°cs 35°－cs 25°cs 235°＝________.


eq \f(\r(3),2) [原式＝sin 25°cs 35°＋cs 25°sin 35°＝


sin(25°＋35°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).]


4．已知α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β.


[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，


∴sin β＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).


∵sin α

∴－eq \f(π,2)<α－β<0，


∴sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β


＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2)，


∴α－β＝－eq \f(π,4).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)


2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)
1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．


2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
利用公式化简求值
给值(式)求值
辅助角公式的应用