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    数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用精品第1课时学案及答案

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    这是一份数学必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用精品第1课时学案及答案,共11页。

    第1课时 半角的正弦、余弦和正切








    半角公式


    sineq \f(α,2)=±eq \r(\f(1-cs α,2)),cseq \f(α,2)=±eq \r(\f(1+cs α,2)),


    taneq \f(α,2)=±eq \r(\f(1-cs α,1+cs α))=eq \f(sin α,1+cs α)=eq \f(1-cs α,sin α).


    思考:如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?


    [提示](1)如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.


    (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时,则先求角eq \f(α,2)所在范围,然后再根据角eq \f(α,2)所在象限确定符号.





    1.若cs α=eq \f(2,3),α∈(0,π),则cs eq \f(α,2)的值为( )


    A.eq \f(\r(6),6) B.-eq \f(\r(6),6)


    C.eq \f(\r(30),6) D.-eq \f(\r(30),6)


    C [由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴cs eq \f(α,2)>0,


    cs eq \f(α,2)=eq \r(\f(1+cs α,2))=eq \f(\r(30),6).]


    2.下列各式与tan α相等的是( )


    A.eq \r(\f(1-cs 2α,1+cs 2α)) B.eq \f(sin α,1+cs α)


    C.eq \f(sin α,1-cs 2α) D.eq \f(1-cs 2α,sin 2α)


    D [eq \r(\f(1-cs 2α,1+cs 2α))=eq \r(\f(2sin2α,2cs2α))=eq \r(tan2α)=|tan α|;


    eq \f(sin α,1+cs α)=eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2cs2\f(α,2))=tan eq \f(α,2);


    eq \f(sin α,1-cs 2α)=eq \f(sin α,2sin2α)=eq \f(1,2sin α);


    eq \f(1-cs 2α,sin 2α)=eq \f(2sin2α,2sin αcs α)=tan α.]


    3.设α∈(π,2π),则eq \r(\f(1+csπ+α,2))等于________.


    sin eq \f(α,2) [eq \r(\f(1+csπ+α,2))=eq \r(\f(1-cs α,2))=eq \r(sin2\f(α,2))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))).


    ∵α∈(π,2π),∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),∴sin eq \f(α,2)>0,故原式=sin eq \f(α,2).]





    【例1】 已知π<α

    eq \f(1-sin α,\r(1+cs α)+\r(1-cs α))的值.


    [思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”,再根据eq \f(α,2)的范围开方化简.


    [解] 原式=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))-\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)-cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))+\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))


    ∵π<α0.


    ∴原式=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),-\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)+cs \f(α,2))))+eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)-cs \f(α,2)))eq \s\up8(2),\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)-cs \f(α,2))))


    =-eq \f(sin \f(α,2)+cs \f(α,2),\r(2))+eq \f(sin \f(α,2)-cs \f(α,2),\r(2))=-eq \r(2)cs eq \f(α,2).





    要熟记一些可用公式的形式,如:1+cs α=2 cs2eq \f(α,2),1-cs α=2 sin2eq \f(α,2),1±sin α=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))eq \s\up8(2)等,解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路.








    1.已知eq \f(3π,2)<θ<2π,试化简:eq \r(1+sin θ)-eq \r(1-sin θ).


    [解] ∵eq \f(3π,2)<θ<2π,∴eq \f(3π,4)

    ∴0<sineq \f(θ,2)<eq \f(\r(,2),2),-1<cseq \f(θ,2)<-eq \f(\r(,2),2),


    从而sineq \f(θ,2)+cseq \f(θ,2)<0,sineq \f(θ,2)-cseq \f(θ,2)>0.


    ∴原式=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)+cs \f(θ,2)))eq \s\up8(2))-eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)-cs \f(θ,2)))eq \s\up8(2))


    =eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)+cs \f(θ,2)))-eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)-cs \f(θ,2)))


    =-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)+cs \f(θ,2)))-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)-cs \f(θ,2)))


    =-2sin eq \f(θ,2).


    【例2】 已知|cs θ|=eq \f(3,5),且eq \f(5π,2)<θ<3π,求sin eq \f(θ,2),cs eq \f(θ,2),tan eq \f(θ,2)的值.


    [思路探究] eq \x(由题意求cs θ)―→eq \x(由半角公式求sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2))


    ―→eq \x(求sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))―→求eq \x(tan \f(θ,2))


    [解] 由eq \f(5π,2)<θ<3π,且|cs θ|=eq \f(3,5)可知,


    cs θ=-eq \f(3,5),eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4),\f(3π,2))).


    由sin2eq \f(θ,2)=eq \f(1-cs θ,2)=eq \f(1+\f(3,5),2)=eq \f(4,5),


    ∴sin eq \f(θ,2)=-eq \r(\f(4,5))=-eq \f(2\r(5),5).


    由cs2eq \f(θ,2)=eq \f(1+cs θ,2)=eq \f(1-\f(3,5),2)=eq \f(1,5),


    ∴cs eq \f(θ,2)=-eq \f(\r(5),5).


    ∴tan eq \f(θ,2)=eq \f(sin \f(θ,2),cs \f(θ,2))=eq \f(-\f(2\r(5),5),-\f(\r(5),5))=2.





    已知θ的某三角函数值,求eq \f(θ,2)的相应三角函数值时,常借助于半角公式sin2eq \f(θ,2)=eq \f(1-cs θ,2),cs2eq \f(θ,2)=eq \f(1+cs θ,2),tan eq \f(θ,2)=eq \f(sin θ,1+cs θ)=eq \f(1-cs θ,sin θ)来处理,由于上述式子中可能涉及解的不定性,故在求解中应注意求eq \f(θ,2)的范围.








    2.已知sin eq \f(α,2)-cs eq \f(α,2)=-eq \f(\r(5),5),450°<α<540°,求sin α及tan eq \f(α,2)的值.


    [解] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)-cs \f(α,2)))eq \s\up8(2)=1-sin α=eq \f(1,5),


    ∴sin α=eq \f(4,5),


    ∴sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)=eq \f(sin α,2)=eq \f(2,5),


    ∴eq \f(sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)+cs2\f(α,2))=eq \f(tan \f(α,2),tan2\f(α,2)+1)=eq \f(2,5),


    解得tan eq \f(α,2)=2或tan eq \f(α,2)=eq \f(1,2).


    ∵450°<α<540°,


    ∴225°

    ∴tan eq \f(α,2)>1,∴tan eq \f(α,2)=2.


    综上可知sin α=eq \f(4,5),tan eq \f(α,2)=2.


    【例3】(1)求证:1+2cs2θ-cs 2θ=2.


    (2)求证:eq \f(2sin xcs x,sin x+cs x-1sin x-cs x+1)


    =eq \f(1+cs x,sin x).


    [思路探究](1)可由左向右证:先把左边cs2 θ降幂化为同角后整理可证.


    (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.


    [证明](1)左边=1+2×eq \f(1+cs 2θ,2)-cs 2θ=2=右边.


    所以原等式成立.


    (2)左边=eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)-2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)+2sin2\f(x,2))))


    =eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)-sin2\f(x,2))))=eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))


    =eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))=eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))=eq \f(1+cs x,sin x)=右边.


    所以原等式成立.





    三角恒等式证明的五种常用方法:


    (1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简.


    (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.


    (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.


    (4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.


    (5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.








    3.已知0<α

    [证明] ∵3sin β=sin(2α+β),


    即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),


    ∴3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α


    =sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,


    ∴2sin(α+β)cs α=4cs(α+β)sin α,


    ∴tan(α+β)=2tan α.


    又∵4tan eq \f(α,2)=1-tan2eq \f(α,2),


    ∴tan α=eq \f(2tan \f(α,2),1-tan2\f(α,2))=eq \f(1,2),


    ∴tan(α+β)=2tan α=1,


    ∵α+β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴α+β=eq \f(π,4).


    [探究问题]


    1.如何求函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,12)))(x∈R)的最小正周期?


    [提示] y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))+1-cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))


    =eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)-\f(π,4)))+1=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(5,12)π))+1,


    所以函数的最小正周期T=π.


    2.研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcs ωx+ccs2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?


    [提示] 研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcs ωx+ccs2ωx的性质时,先化成f(x)=eq \r(a2+b2)sin(ωx+φ)+c的形式再解答.


    【例4】 已知函数f(x)=4cs ωx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.


    (1)求ω的值;


    (2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的单调性.


    [思路探究] 利用三角公式化简函数式,写为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再讨论函数的性质.


    [解](1)f(x)=4cs ωx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,4)))


    =2eq \r(2)sin ωx·cs ωx+2eq \r(2)cs2 ωx


    =eq \r(2)(sin 2ωx+cs 2ωx)+eq \r(2)


    =2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx+\f(π,4)))+eq \r(2).


    因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有eq \f(2π,2ω)=π,故ω=1.


    (2)由(1)知,f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))+eq \r(2).


    若0≤x≤eq \f(π,2),则eq \f(π,4)≤2x+eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4).


    当eq \f(π,4)≤2x+eq \f(π,4)≤eq \f(π,2),


    即0≤x≤eq \f(π,8)时,f(x)单调递增;


    当eq \f(π,2)<2x+eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4),


    即eq \f(π,8)

    综上可知,f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,8)))上单调递增,在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(π,2)))上单调递减.





    三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcs ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asinωx+φ+k或y=Acsωx+φ+k的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.








    4.已知函数f(x)=-eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))+6sin xcs x-2cs2 x+1,x∈R.


    (1)求f(x)的最小正周期;


    (2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最大值和最小值.


    [解](1)f(x)=-sin 2x-cs 2x+3sin 2x-cs 2x


    =2sin 2x-2cs 2x=2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4))).


    所以f(x)的最小正周期T=eq \f(2π,2)=π.


    (2)由(1)知f(x)=2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4))),


    由于x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以2x-eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,4),\f(3π,4))),


    则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2),1)).


    所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最大值为2eq \r(2),最小值为-2.





    常用的三角恒等变换思想方法


    (1)常值代换


    用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数,使之代换后能运用相关公式,化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常值代换.


    (2)切化弦


    当待化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式tan α=eq \f(sin α,cs α),将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.


    (3)降幂与升幂


    由C2α变形后得到公式:sin2α=eq \f(1,2)(1-cs 2α),cs2α=eq \f(1,2)(1+cs 2α),运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cs 2α=2cs2α,1-cs 2α=2sin2α,就是升幂.


    (4)角的变换


    角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系,使公式顺利运用,解题过程被简化.常见的角的变换有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=eq \f(1,2)[(α+β)+(α-β)],α=eq \f(1,2)[(α+β)-(β-α)],α+β=(2α+β)-α等.





    1.已知cs α=eq \f(3,5),α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π,2π)),则sin eq \f(α,2)等于( )


    A.eq \f(\r(5),5) B.-eq \f(\r(5),5)


    C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)


    A [由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π,π)),


    ∴sin eq \f(α,2)>0,sin eq \f(α,2)=eq \r(\f(1-cs α,2))=eq \f(\r(5),5).]


    2.已知sin α-cs α=-eq \f(5,4),则sin 2α的值等于( )


    A.eq \f(7,16)B.-eq \f(7,16)


    C.-eq \f(9,16) D.eq \f(9,16)


    C [由sin α-cs α=-eq \f(5,4),(sin α-cs α)2=1-2sin α·cs α=1-sin 2α=eq \f(25,16),所以sin 2α=-eq \f(9,16).]


    3.函数y=eq \f(\r(3),2)sin 2x+cs2x的最小正周期为________.


    π [∵y=eq \f(\r(3),2)sin 2x+cs2x=eq \f(\r(3),2)sin 2x+eq \f(1,2)cs 2x+eq \f(1,2)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))+eq \f(1,2),∴函数的最小正周期T=eq \f(2π,2)=π.]


    4.求证:eq \f(1+sin 4θ-cs 4θ,2tan θ)=eq \f(1+sin 4θ+cs 4θ,1-tan2 θ).


    [证明] 原式可变形为


    1+sin 4θ-cs 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cs 4θ),①


    ①式右边=eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(1+2cs22θ-1+2sin 2θcs 2θ)


    =eq \f(sin 2θ,cs 2θ)(2cs22θ+2sin 2θcs 2θ)=2sin 2θ(cs2θ+sin2θ)


    =2sin 2θcs2θ+2sin22θ=sin4θ+1-cs4θ=左边.


    ∴①式成立,即原式得证.


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.(一般)


    2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)
    1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导,培养学生的逻辑推理的核心素养.


    2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用,提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
    化简问题
    求值问题
    三角恒等式的证明
    三角恒等变换与三角函数图像性质的综合应用
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