（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第五讲幂函数与二次函数学案（含解析）

第五讲　幂函数与二次函数

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　幂函数

知识点二　二次函数的图象和性质

1．二次函数解析式的三种形式：

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．一元二次不等式恒成立的条件：

(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．

(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论中不正确的是(　ABD　)

A．y＝x0的图象是一条直线

B．若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数

C．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数

D．当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数

题组二　走进教材

2．(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝(　C　)

A．  B．1

C．  D．2

[解析]　由幂函数的定义知k＝1.又f()＝，

所以()α＝，解得α＝，从而k＋α＝.

3．(必修1P39BT1改编)函数f(x)＝－x2－6x＋8，当x＝－3时，函数取得最大值17.

4．(必修1P44AT9改编)二次函数y＝f(x)满足f(－1)＝f(3)，x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则x1＋x2＝2.

题组三　考题再现

5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　A　)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

[解析]　f(x)＝x在(0，＋∞)上为增函数，a＝16，b＝9，c＝25，∴c>a>b.故选A．

6．(2017·浙江卷，5)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　B　)

A．与a有关，且与b有关  B．与a有关，且与b无关

C．与a无关，且与b无关  D．与a无关，且与b有关

[解析]　f(x)＝(x＋)2－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f(－)＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，∴M－m＝max{，1＋a＋}与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　幂函数图象与性质——自主练透

例1 (1)(2020·河北衡水武邑中学高三上第一次调研)已知幂函数y＝f(x)的图象，经过点(2,2)，则幂函数的解析式为(　C　)

A．y＝2x  B．y＝x

C．y＝x  D．y＝x

(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　B　)

A．d>c>b>a

B．a>b>c>d

C．d>c>a>b

D．a>b>d>c

(3)(2018·上海)已知α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝－1.

(4)若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是[－1，).

[解析]　(1)幂函数y＝f(x)＝xα的图象经过点(2,2)，

∴2α＝2，解得α＝，∴幂函数的解析式为y＝x.故选C．

(2)由幂函数图象性质知，在x＝1右侧从下至上次数依次增大，故选B．

(3)由奇函数知α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)为减函数知α＝－1.

(4)由幂函数y＝性质得，解得－1≤a<.故填[－1，)．

名师点拨 ☞

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

考点二　二次函数的图象与性质

考向1　二次函数的解析式——师生共研

例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．

[解析]　解法一：利用“一般式”解题：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

解法二：利用“顶点式”解题：

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.

又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，

∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.

(解法三：利用“零点式”解题：

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8，

解得a＝－4或a＝0(舍去)．

∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

名师点拨 ☞

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

〔变式训练1〕

(1)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝－2x2＋4.

(2)已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，则f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋2x.

[解析]　(1)因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋a(b＋2)x＋2a2，由f(x)是偶函数可知：f(x)的图象关于y轴对称，所以b＝－2或a＝0，当a＝0时，f(x)＝bx2与值域(－∞，4]矛盾，当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，又因为f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，因此f(x)＝－2x2＋4.

(2)解法一：(一般式)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则⇒

∴f(x)＝－x2＋2x.

解法二：(两根式)∵对称轴方程为x＝1，

∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2.

∴可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．

又∵f(1)＝1，可得a＝－1，

∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.

解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，

∴可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.

又由f(0)＝0，可得a＝－1，

∴f(x)＝－(x－1)2＋1.

考向2　二次函数的图象和性质——多维探究

角度1　二次函数的图象

例3 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　C　)

[解析]　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B．

名师点拨 ☞

二次函数图象的识别方法

二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．

角度2　利用二次函数的图象和性质求参数

例4 已知f(x)＝x2－2x＋5.

(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为4；

(2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为4，最大值为8；

(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为

.

[分析]　对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．

[解析]　(1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，

∴f(x)的最小值为4.

(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2]，

∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．

又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.

(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.

当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，

∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，

当t<1<t＋1即0<t<1时，f(x)在[t,1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋5＝4.

当t＋1≤1即t≤0，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋4.

∴f(x)min＝

[引申]在(3)的条件下，求f(x)的最大值．

[解析]　①当≥1即t≥时f(x)最大值为f(t＋1)＝t2＋4

②当<1，即t<时f(x)最大值为f(t)＝t2－2t＋5.

综上所述，f(x)max＝

名师点拨 ☞

二次函数求最值问题，一般先用配方法化成形如y＝a(x＋b)2＋c的形式，若x∈R，a>0，则ymin＝c，若x∈R，a<0，则ymax＝c.当定义域不是R时，常见的题型有三种：(1)区间确定，对称轴确定，此类题型只需结合二次函数便可求出最值；(2)区间确定，对称轴变化(含参)；(3)对称轴确定，区间不确定(含参)．(2)(3)两类问题，通常要把－与区间端点、中点比较，分类求解．

角度3　二次函数中的恒成立问题

例5 (2020·石家庄模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为(，＋∞).

[解析]　解法一：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－＋在(1,4)上恒成立．

令g(x)＝－＋＝－2(－)2＋，

∈(，1)，所以g(x)max＝g(2)＝，

所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可．

解法二：当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，

显然f(4)＝－6，不合题意，∴a≠0

(1)当a>0时，二次函数f(x)开口向上，对称轴为x＝.

①若≤1即a≥1时，fmin(x)＝f(1)＝a>0，即a≥1.

②若≥4即0<a≤时，fmin(x)＝f(4)＝16a－6>0得a>矛盾．

③若1<<4即<a<1时，fmin(x)＝f()＝－＋2>0得a>.即<a<1.

(2)当a<0时，由题意知，即，解得a>矛盾．

综上可知a的取值范围是(，＋∞)．

[引申]若将“一切x值都有f(x)>0”改为“f(x)>0有解”呢？

[解析]　由解法一知a>－＋在(1,4)上有解．

即a>(－＋)min＝g(1)＝0，

∴a的取值范围是(0，＋∞)．

名师点拨 ☞

二次函数中恒成立问题的求解思路

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解．

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

注：a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min，a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max.

〔变式训练2〕

(1)(多选题)(角度1)设b≥0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　ABD　)

A．  B．

C．1  D．－1

(2)(角度2)(2020·河北唐山一中模拟)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为(　B　)

A．1  B．

C．1或  D．－3

(3)(角度3)(2020·杭州模拟)已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(0,2)  B．(2，＋∞)

C．(0，＋∞)  D．(0,4)

[解析]　(1)当b＝0时，对称轴为y轴，a＝时开口向下，a2－1>0，A正确．a＝时开口向上，a2－1<0，B正确；当b>0时，对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1.故选A、B、D．

(2)f(x)＝a(x＋1)2＋1－a，

①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意舍去；

②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；

③当a<0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意舍去。

综上可知a的值为，故选B．

(3)对称轴为x＝，当≤－1即a≤－2时，由题意得f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋>0，得a>－，又a≤－2，∴无解；当－1<<1即－2<a<2时，f(x)min＝f()＝－＋＝－＋>0得0<a<2；当≥1，即a≥2时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋＝1－>0，得a<2，又a≥2，∴无解．综上得0<a<2.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

转换变量——解决二次函数问题中的核心素养

例6 (2020·衡阳模拟)设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，当a∈[－1,1]时，则t的取值范围是(　D　)

A．－≤t≤　　　 B．t≥或t≤－或t＝0

C．－2≤t≤2  D．t≥2或t≤－2或t＝0

[解析]　奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，在[－1,1]上最大值是1，所以1≤t2－2at＋1，当t＝0时，恒成立；当t≠0时，则t2－2at≥0成立，又a∈[－1,1]，令r(a)＝－2ta＋t2，a∈[－1,1]，当t>0时，r(a)是减函数，故令r(1)≥0得t≥2，当t<0时，r(a)是增函数，故令r(－1)≥0，解得t≤－2，综上知，t≥2或t≤－2或t＝0.

名师点拨 ☞

转换变量有时会起到意想不到的效果，一般已知给出谁的范围，通常让它作变量，求谁的范围，谁作参数．

〔变式训练3〕

　已知f(x)＝x2－ax＋1，当a∈[－1,2]时恒有f(x)<3，则x的取值范围为(1－，1).

[解析]　设x2－ax＋1＝g(a)，则g(a)＝－xa＋x2＋1，a∈[－1,2]，由已知得g(a)<3，

只需满足，即

解得：1－<x<1.故填(1－，1)．