（山东专用）2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第八讲曲线与方程学案（含解析）

第八讲　曲线与方程 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一　曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做__曲线__的方程；这条曲线叫做__方程__的曲线．知识点二　求动点的轨迹方程的基本步骤重要结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．双基自测题组一　走出误区1．(多选题)下列结论错误的是(　ABCD　)A．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线B．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2C．y＝kx与x＝y表示同一直线D．动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的题组二　走进教材2．(必修2P37T3)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　D　)A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线[解析]　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．题组三　考题再现3．(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　B　)A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0,0)[解析]　圆心C在抛物线上，设与直线x＋2＝0相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线x＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0)，故选B．4．(2019·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　B　)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[解析]　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B．5．(2019·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3.则顶点A的轨迹方程为__(x－10)2＋y2＝36(y≠0)__.　[解析]　设A(x，y)，由题意可知D(，)．又∵|CD|＝3，∴(－5)2＋()2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一　曲线与方程——自主练透例1 (多选题)关于x，y的方程＋＝1，(其中m2≠)对应的曲线可能是(　ABCD　)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．圆[解析]　由题，若m2＋2>3m2－2，解得－<m<，3m2－2>0，解得m<－或m>，则当x∈(－，－)∪(，)时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若3m2－2>m2＋2，解得m<－或m>，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若3m2－2<0，解得－<m<，此时曲线是焦点在x轴上的双曲线，C正确；当m2＝2时，方程为x2＋y2＝4，所以D正确．故选ABCD．〔变式训练1〕(多选题)(2020·山东青岛一中期末)已知点F(1,0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　AD　)A．y2＝4xB．x2＝4yC．＋＝1(0<θ<)D．－＝1(0<θ<)[解析]　y2＝4x的焦点坐标为(1,0)；x2＝4y的焦点坐标为(0,1)；当θ＝时，sin2θ＝cos2θ＝，＋＝1表示圆；双曲线－＝1(0<θ<)的焦点在x轴上，且c＝＝1，其焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，故选AD．考点二　定义法求轨迹方程——自主练透例2 (1)(2019·沈阳模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　C　)A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y(2)(2019·福州模拟)已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　A　)A．＋＝1 B．＋＝1C．－＝1 D．－＝1(3)(2019·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－＝1(x≤－1)__.[解析]　(1)由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.故选C．(2)由＝2，·＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A．(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，且圆M半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，∴|MC2|－|MC1|＝2.即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<|C1C2|＝6，|MC2|>|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__－＝1(x≤－2)__.[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨道方程为__－＝1(x≥2)__.[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为__x2－＝1(x≥1)__.[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__－＝1__.名师点拨 ☞定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．〔变式训练2〕(1)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　B　)A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x(2)(多选题)(2020·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是(　AB　)A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线[解析]　(1)双曲线x2－＝1的左焦点为F(－2,0)，由题意可知点M的轨迹是以F为焦点、原点为顶点、对称轴为x轴的抛物线，故其方程为y2＝－8x.故选B．(2)如图两根电杆AB，CD，①当|AB|＝|CD|时，∵∠BPA＝∠CPC，∴|PA|＝|PC|，∴P的轨迹是AC的中垂线，②当|AB|＝λ|CD|(λ≠1，λ>0)时，由∠BPA＝∠CPC知Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝＝λ，以AC所在直线为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，不记记A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，则＝λ，即(x－)2＋y2＝()2，轨迹为圆，故选AB．考点三　直接法求轨迹方程——师生共研例3 已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A，其弦AB的中点D恰好落在x轴上．(1)求点B的轨迹E的方程；(2)过直线y＝－1上一点P作曲线E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线MN过定点．[解析]　(1)设B(x，y)，y>0，则AB的中点D(，0)，∵C(0,1)，连接DC，∴＝(－，1)，＝(，y)．在⊙C中，DC⊥DB，∴·＝0，∴－＋y＝0，即x2＝4y(y>0)．∴点B的轨迹E的方程为x2＝4y(y>0)．(2)由(1)可得曲线E的方程为x2＝4y(y>0)．设P(t，－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵y＝，∴y′＝，∴过点M，N的切线方程分别为y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，由4y1＝x，4y2＝x，上述切线方程可化为2(y＋y1)＝x1x,2(y＋y2)＝x2x，∵点P在这两条切线上，∴2(y1－1)＝tx1,2(y2－1)＝tx2，即直线MN的方程为2(y－1)＝tx，故直线MN过定点C(0,1)．名师点拨 ☞直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．〔变式训练3〕(2019·湖南省湘潭市模拟)设D是圆O：x2＋y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|＝|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．[解析]　(1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|＝|ED|，点Q在直线m上，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，所以x＋y＝16.②将①式代入②式，得曲线C的方程为＋＝1.(2)由题意可知l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．由，得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝.③记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝＋＝＋－3(＋)＝2k－3×.④把③代入④，得k1＋k2＝2k－3×＝2k－1，又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．考点四　代入法(相关点法)求轨迹方程——多维探究例4 (2019·泉州模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．[解析]　(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，所以得由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入 曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2.此时直线l的方程为y＝±x＋1.名师点拨 ☞代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律．(2)代入法(相关点法)的基本步骤①设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；②求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程；④检验：注意检验所求方程是否符合题意．〔变式训练4〕(2019·河北石家庄模拟)已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为(　D　)A．圆 B．抛物线C．双曲线 D．椭圆[解析]　设P(x，y)，Q(x0，y0)，椭圆C的左焦点F1(－2,0)，由题意知又＋＝1，∴＋＝1，故选D．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升参数法求轨迹方程例5 (2019·山西临汾)已知椭圆C：＋y2＝1的上、下顶点分别为M、N，点P在椭圆C外，直线PM交椭圆与另一点A，若PN⊥NA，则点P的轨迹方程是(　D　)A．y＝x2＋1(x≠0) B．y＝x2＋3(x≠0)C．y2－＝1(y>0，x≠0) D．y＝3(x≠0)[解析]　设P的坐标为(x，y)，A的坐标为(m，n)，且m≠0，由题意可知M(0,1)，N(0，－1)，∴kPN＝，kAN＝，kPM＝，kAM＝，∵PN⊥NA，∴－＝.①又知点A(m，n)在直线PM上，∴kPM＝kAM，即＝.②由①×②得－＝③.又∵点A(m，n)在椭圆上，∴＋n2＝1，即n2－1＝－.④把④代入③得＝，即y＝3，由题意可知x≠0，∴点P的轨迹方程为y＝3(x≠0)，故选D．名师点拨 ☞(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为__x＋y－1＝0__.[解析]　当直线l1的斜率存在时，l2的斜率也存在，设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋)，设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有两式相加消去k，得x＋y＝1(x≠)，即x＋y－1＝0(x≠)，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0(x≠)．当直线l1(l2)的斜率不存在时，点M的坐标为(，)，此点在直线x＋y－1＝0上．综上，AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.另解：由题意易知|MP|＝|MO|，∴M的轨迹为线段OP的中垂线，其方程为y－＝－(x－)，即x＋y－1＝0.