（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.5抛物线试题（含解析）

§9.5　抛物线

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　抛物线的定义及标准方程

1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为x+4y-20=0,则抛物线的方程为(　　)

A.y2=16x　　　　　B.y2=8x

C.x2=16y　　　　　D.x2=8y

答案　C

2.设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=(　　)

A.4　　　B.4或-4　　　C.-2　　　D.-2或2

答案　D

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于点M(点M位于第一象限),与它的准线相交于点N,且点N的纵坐标为4,|FM|∶|MN|=1∶3,则p=　　　　. 

答案　

4.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　. 

答案　13

考点二　抛物线的几何性质

5.抛物线y=x2的准线方程是(　　)

A.y=-1　　　　　B.y=-2            C.x=-1　　　　　D.x=-2

答案　A

6.已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.1

答案　B

7.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=4,则线段MN中点的横坐标为(　　)

A.　　　B.2　　　C.　　　D.3

答案　A

8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　　)

A.2　　　　　B.2　　C.2　　　　　D.4

答案　C

考点三　直线与抛物线的位置关系

9.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　D

10.已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线相交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是线段AB的中点,则△AOB(O为坐标原点)的面积是(　　)

A.4　　　B.3　　　C.　　　D.2

答案　D

11.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A.2　　　B.3　　　C.　　　D.

答案　B

12.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　. 

答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　与抛物线定义有关的问题

1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=(　　)

A.5　　　B.6　　　C.8　　　D.10

答案　C

2.(2019陕西榆林二模,7)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为(　　)

A.y2=x　　　B.y2=2x　　　C.y2=4x　　　D.y2=8x

答案　B

3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为(　　)

A.1　　　B.　　　C.5　　　D.

答案　B

4.(2019内蒙古呼和浩特第一次质量普查,10)已知抛物线x2=y的焦点为F,M,N是抛物线上两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

考法二　抛物线焦点弦问题的求解方法

5.(2019江西五校协作体2月联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.4

答案　C

6.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则=(　　)

A.　　　B.　　　C.2a　　　D.4a

答案　B

7.(2019福建泉州五中月考,9)已知抛物线C:y2=4x,那么过抛物线C的焦点,长度为不超过2 015的整数的弦的条数是(　　)

A.4 024　　　B.4 023　　　C.2 012　　　D.2 015

答案　B

【五年高考】

考点一　抛物线的定义及标准方程

1.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=(　　)

A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.8

答案　D

2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. 

答案　6

3.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. 

答案　9

4.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　. 

答案　2

考点二　抛物线的几何性质

5.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(　　)

A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8

答案　B

6.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　. 

答案　2

考点三　直线与抛物线的位置关系

7.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=(　　)

A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8

答案　D

8.(2019课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

解析　本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养.

设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.

由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.

从而-=,得t=-.

所以l的方程为y=x-.

(2)由=3可得y1=-3y2.

由可得y2-2y+2t=0.

所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.

代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.

思路分析　(1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.

(2)P点在x轴上,由=3知A、B两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A、B两点纵坐标之和,二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|.

教师专用题组

考点一　抛物线的定义及标准方程

1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=(　　)

A.　　　B.3　　　C.　　　D.2

答案　B

2.(2013课标Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(　　)

A.y2=4x或y2=8x　　　　　B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x　　　　　D.y2=2x或y2=16x

答案　C

3.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.

(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;

(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.

解析　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.

由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.

因为△ABD的面积为4,

所以|BD|·d=4,

即·2p·p=4,

解得p=-2(舍去),p=2.

所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.

(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,

所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.

由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,

所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.

当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.

由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0,

解得b=-.

因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.

当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.

评析　本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.

考点二　抛物线的几何性质

4.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

答案　A

5.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为　　　　. 

答案　

考点三　直线与抛物线的位置关系

6.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)求证:A为线段BM的中点.

解析　本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.

(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.

所以抛物线C的方程为y2=x.

所以抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.

(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).

由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.

则x1+x2=,x1x2=.

因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.

因为y1+-2x1=

=

===0,

所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.

方法总结　在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.

易错警示　在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.(2020届广东县中10月联考,6)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为双曲线-=1的右焦点,则p=(　　)

A.4　　　B.4　　　C.8　　　D.8

答案　C

2.(2020届辽宁阜新中学10月月考,4)已知抛物线x2=8y,圆M:(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心M到抛物线的准线的距离为(　　)

A.5　　　B.4　　　C.2　　　D.4

答案　A

3.(2020届湖南益阳、湘潭9月质检,10)抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,点Q在抛物线上,且∠MQF=90°,则以MQ为直径的圆的面积等于(　　)

A.π　　　　　B.π                  C.(2-2)π　　　　　D.(2+2)π

答案　A

4.(2020届山西大学附属中学第二次模块诊断,12)已知A(0,3),若点P是抛物线x2=8y上任意一点,点Q是圆x2+(y-2)2=1上任意一点,则的最小值为(　　)

A.4-4　　　　　B.2-1               C.2-2　　　　　D.4+1

答案　A

5.(2020届广东广州执信中学10月月考,6)如图,已知点S(0,3),SA,SB与圆C:x2+y2-my=0(m>0)和抛物线x2=-2py(p>0)都相切,切点分别为M,N和A,B,SA∥ON,则点A到抛物线准线的距离为(　　)

A.4　　　B.2　　　C.3　　　D.3

答案　A

6.(2019安徽蚌埠二模,11)已知F为抛物线y2=4x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,若点A在抛物线上,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为(　　)

A.　　　B.2　　　C.　　　D.2

答案　D

7.(2018内蒙古包头一模)过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=10,则原点到l的距离为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

8.(2019福建福州3月联考,6)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率为-,则△PAF的面积为(　　)

A.2　　　B.4　　　C.8　　　D.8

答案　B

9.(2019江西宜春12月联考,12)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线C上一点,圆M与y轴相切,且被直线x=截得的弦长为p,若|MF|=,则抛物线的方程为(　　)

A.y2=4x　　　B.y2=2x　　　C.y2=8x　　　D.y2=x

答案　A

二、多项选择题(每题5分,共20分)

10.(改编题)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中正确的是(　　)

A.x1x2=1　　　　　B.kPQ=-

C.|PQ|=　　　　　D.l1与l2之间的距离为4

答案　ABC

11.(改编题)已知O是坐标原点,A,B是抛物线y=x2上不同于O的两点,且OA⊥OB,下列结论中正确的是(　　)

A.|OA|·|OB|≥2

B.|OA|+|OB|≥2

C.直线AB过抛物线y=x2的焦点

D.O到直线AB的距离小于或等于1

答案　ABD

12.(改编题)设F是抛物线C:y2=8x的焦点,P是抛物线C上一点,点M在抛物线C的准线l上,若=4,则直线FP的方程为(　　)

A.y=2(x-2)　　　　　B.y=-2(x-2)

C.y=(x-2)　　　　　D.y=-(x-2)

答案　AB

13.(改编题)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是(　　)

A.+=

B.若|AF|·|BF|=p2,则k=

C.·=·

D.四边形ACBD面积的最小值为16p2

答案　AC

三、填空题(每题5分,共25分)

14.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　,+=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

答案　2;1

15.(2020届山东枣庄三中10月学情调查,15)设抛物线y=-2x2上一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是　　　　. 

答案　

16.(2019辽宁沈阳东北育才学校一模,14)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A在y轴上,线段AF的中点B在抛物线上,则|AF|=　　　　. 

答案　3

17.(2020届湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,直线AF交抛物线于另一点B,则|BF|=　　　　. 

答案　

18.(2018辽宁大连一模)已知抛物线C:y2=2x,过点M(1,0)任作一条直线和抛物线C交于A、B两点,设点G(2,0),连接AG,BG并延长,分别和抛物线C交于点A'和B',则直线A'B'过定点　　　　. 

答案　(4,0)

四、解答题(共25分)

19.(2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0),圆O:x2+y2=1.

(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|;

(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.

解析　(1)由题意得F(0,1),从而抛物线C:x2=4y.

解方程组得y=-2或y=-2-(舍去),∴点A的纵坐标为yA=-2,∴|AF|=-1.

(2)设M(x0,y0)(y0>0),则切线l:y=(x-x0)+y0,

结合=2py0,整理得x0x-py-py0=0.

由ON⊥l且|ON|=1得=1,即|py0|==,∴p=且-1>0.

∴|MN|2=|OM|2-1=+-1=2py0+-1

=+-1=4++(-1)≥8,当且仅当y0=时等号成立.∴|MN|的最小值为2,此时p=.

思路分析　(1)求出F(0,1),得到抛物线方程,联立圆的方程与抛物线的方程,求出点A的纵坐标,然后求得|AF|;

(2)设M(x0,y0)(y0>0),则切线l:y=(x-x0)+y0,由ON⊥l且|ON|=1求得p=,从而得出|MN|2的表达式,进而利用基本不等式求最小值以及此时p的值.

20.(2020届九师联盟9月质量检测,19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点D(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点.

(1)若△ABF的面积为3,求直线l的方程;

(2)试判断以线段AB为直径的圆与点F的位置关系,并说明理由.

解析　(1)由题意知焦点F的坐标为(1,0).

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为x=my+2.联立得消去x,整理得y2-4my-8=0,

可得y1+y2=4m,y1y2=-8,

则S△ABF=S△ADF+S△BDF=×|DF|×|y2-y1|

===2.

由△ABF的面积为3,可得2=3,解得m=±,

故直线l的方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0.

(2)点F在以线段AB为直径的圆内.

理由如下:由(1)知x1x2==4,x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2+4.∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),

∴·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=4-(4m2+4)-8+1=-4m2-7<0,

∴∠AFB为钝角,故点F在以线段AB为直径的圆内.