2019-2020学年云南省玉溪一中分校八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年云南省玉溪一中分校八年级（下）期末数学试卷
一、填空题（每题3分，共18分）
1．（3分）若＝2﹣x，则x的取值范围是　 　．
2．（3分）某多边形的内角和为900°，则该多边形的对角线条数为　 　．
3．（3分）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝　 　．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝　 　cm．

5．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为　 　．

6．（3分）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝　 　．（用含n的式子表示）

二、选择题（每题4分，共32分）
7．（4分）下列式子属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
9．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．a9÷a3＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（3a2）3＝9a6
10．（4分）下列平面图形中，既是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（4分）小明同学本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1：2：2计算得出总成绩，则本学期小明的数学总成绩为（　　）
测试类别
平时
期中
期末
得分（分）
84
80
94
A．86分 B．86.4分 C．87分 D．88分
12．（4分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（　　）

A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
13．（4分）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠ACB＝90°，点M是AC的中点，CD平分∠ACB交AB于点D，点P是CD上一动点，则PM+PA的最小值为（　　）

A．2 B． C．2 D．4
三、解答题（共70分）
15．（8分）（1）；
（2）．
16．（8分）解分式方程
（1）；
（2）．
17．（7分）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：“平地秋千为起，踏板一尺高地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．二公高士好争，算出索长有几？（注：二步＝10尺）．”大意是：“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是呈直线状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”请解答上述问题．
18．（7分）先化简，再求值：÷（m﹣1﹣），其中m＝．
19．（8分）为了解某校八年级学生运篮球过障碍物的成绩情况，随机抽查了部分同学的成绩（满分为15分，成绩取整数）．规定：A等次（12.5分～15分）；B等次（10.5分～12.5分）；C等次（8.5分～10.5分）；D等次（8.5分以下），并根据调查结果制作了如下的频数分布图表（不完整）；
八年级学生运篮球过障碍物成绩频数分布表
等次
频数
频率
A
m
0.2
B
20
0.4
C
n
p
D
5
0.1
八年级学生运篮球过障碍物成绩频数分布直方图

请根据图表信息解答问题：
（1）表中的m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　；并补全频数分布直方图；
（2）这组数据的中位数落在　 　等次，众数落在　 　等次；
（3）若该校八年级有学生2000名，请估计运篮球过障碍物成绩在8.5分以上的学生人数．
20．（6分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，点E在△ABC的外部，且AC恰好平分四边形ADCE的一组对角∠EAD和∠ECD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠E＝45°，AE＝2，求四边形ABCE的面积．

21．（8分）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；
（2）利用你发现的规律计算：+++…+
（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．
22．（10分）学校计划从某苗木基地购进A、B两咱树苗共200棵绿化校园．已知购买了3棵A种树苗和5棵B种树苗共需700元；购买2棵A种树苗和1棵B种树苗共需280元．
（1）每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？
（2）学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元．设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系；
（3）在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
23．（8分）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．
（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．
求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；
（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4，正方形AEFG的边长为3，求BE的长．


2019-2020学年云南省玉溪一中分校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，共18分）
1．（3分）若＝2﹣x，则x的取值范围是　x≤2　．
【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵＝2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
2．（3分）某多边形的内角和为900°，则该多边形的对角线条数为　14　．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7，
∴多边形的对角线的条数是．
故答案为：14．
3．（3分）分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝　（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）　．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式，应考虑为一组．
【解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab
＝（a2+b2﹣2ab）﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝　6　cm．

【分析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD＝12cm，再根据中位线的性质可得EF＝AB＝6cm．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6cm，
∴AB＝12cm，
∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴EF＝AB＝6cm，
故答案为：6．
5．（3分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB＝8，且△ABF的面积为24，则EC的长为　3　．

【分析】先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC＝x，则FE＝DE＝8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．
【解答】解：∵AB＝8，S△ABF＝24
∴BF＝6．
∵在Rt△ABF中，AF＝＝10，
∴AD＝AF＝BC＝10
∴CF＝10﹣6＝4
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2＝CF2+CE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得，x＝3．
∴CE＝3．
故答案为：3．
6．（3分）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝　（）n　．（用含n的式子表示）

【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1＝1，AB＝2，
根据勾股定理得：AB1＝，
∴S1＝××（）2＝（）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2＝，AB1＝，
根据勾股定理得：AB2＝，
∴S2＝××（）2＝（）2；
依此类推，Sn＝（）n．
故答案为：（）n．
二、选择题（每题4分，共32分）
7．（4分）下列式子属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝，不是最简二次根式；
C、＝2，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
8．（4分）若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】分式的值为0，则分母不为0，分子为0．
【解答】解：∵|x|﹣2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，x﹣2＝0，分式无意义．
当x＝﹣2时，x﹣2≠0，
∴当x＝﹣2时分式的值是0．
故选：C．
9．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．a9÷a3＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（3a2）3＝9a6
【分析】利用二次根式的加减及幂的有关运算性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、3﹣＝2，故错误，不符合题意；
B、a9÷a3＝a6，故错误，不符合题意；
C、a2•a3＝a5，正确，符合题意；
D、（3a2）3＝27a6，故错误，不符合题意，
故选：C．
10．（4分）下列平面图形中，既是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
11．（4分）小明同学本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照1：2：2计算得出总成绩，则本学期小明的数学总成绩为（　　）
测试类别
平时
期中
期末
得分（分）
84
80
94
A．86分 B．86.4分 C．87分 D．88分
【分析】利用加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：本学期小明的数学总成绩为＝86.4（分），
故选：B．
12．（4分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（　　）

A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，再由周长为40cm可得邻边之和为20cm，然后根据AB和BC的关系计算出BC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC＝20cm，
∵BC＝AB，
∴BC＝20×＝8cm，
故选：D．
13．（4分）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【分析】根据题意得，▱ABCD∽▱OECF，且AO＝OC＝AC，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的．
【解答】解：由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO＝OC＝AC，
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的，
即图中阴影部分的面积为cm2．
故选：A．
14．（4分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠ACB＝90°，点M是AC的中点，CD平分∠ACB交AB于点D，点P是CD上一动点，则PM+PA的最小值为（　　）

A．2 B． C．2 D．4
【分析】在CB上截取CM＝CA，利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可．
【解答】解：在CB上截取CM＝CA，连接DM，

在△CDA与△CDM中

∴△CDA≌△CDM（SAS），
∴AD＝DM，
∴点A、M关于CD成轴对称，
连接ME交CD于P，
此时PA+PE＝EM有最小值，
最小值＝＝2．
故选：C．
三、解答题（共70分）
15．（8分）（1）；
（2）．
【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）先化简，然后根据二次根式的加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝3+（﹣1）+1﹣4
＝﹣1；
（2）
＝3﹣﹣（4﹣4+3）﹣3
＝3﹣﹣7+4﹣3
＝﹣4．
16．（8分）解分式方程
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
整理得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x﹣2）2＝（x+2）2+16，
整理得：x2﹣4x+4＝x2+4x+4+16，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．
17．（7分）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：“平地秋千为起，踏板一尺高地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．二公高士好争，算出索长有几？（注：二步＝10尺）．”大意是：“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是呈直线状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”请解答上述问题．
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
【解答】解：设绳索有x尺长，则
102+（x+1﹣5）2＝x2，
解得：x＝14.5．
答：绳索长14.5尺．
18．（7分）先化简，再求值：÷（m﹣1﹣），其中m＝．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝•＝，
当m＝时，原式＝．
19．（8分）为了解某校八年级学生运篮球过障碍物的成绩情况，随机抽查了部分同学的成绩（满分为15分，成绩取整数）．规定：A等次（12.5分～15分）；B等次（10.5分～12.5分）；C等次（8.5分～10.5分）；D等次（8.5分以下），并根据调查结果制作了如下的频数分布图表（不完整）；
八年级学生运篮球过障碍物成绩频数分布表
等次
频数
频率
A
m
0.2
B
20
0.4
C
n
p
D
5
0.1
八年级学生运篮球过障碍物成绩频数分布直方图

请根据图表信息解答问题：
（1）表中的m＝　10　，n＝　15　，p＝　0.3　；并补全频数分布直方图；
（2）这组数据的中位数落在　B　等次，众数落在　B　等次；
（3）若该校八年级有学生2000名，请估计运篮球过障碍物成绩在8.5分以上的学生人数．
【分析】（1）根据B组的频数和频率，可以求得本次调查的人数，然后即可得到m、n、p的值，再根据m、n的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（2）根据频数分布表中的数据，可以得到这组数据的众数和中位数；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出运篮球过障碍物成绩在8.5分以上的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：20÷0.4＝50（人），
m＝50×0.2＝10，n＝50﹣10﹣20﹣5＝15，p＝15÷50＝0.3，
补全的频数分布直方图如右图所示；
故答案为：10，15，0.3；
（2）这组数据的中位数落在B等次，众数落在B等次，
故答案为：B，B；
（3）2000×（1﹣0.1）
＝2000×0.9
＝1800（人），
答：运篮球过障碍物成绩在8.5分以上的学生有1800人．

20．（6分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，点E在△ABC的外部，且AC恰好平分四边形ADCE的一组对角∠EAD和∠ECD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠E＝45°，AE＝2，求四边形ABCE的面积．

【分析】（1）证△ACD≌△ACE（ASA），得AD＝AE，CD＝CE，由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝AD，则CD＝AD＝CE＝AE，由菱形的判定定理即可得出结论；
（2）作AF⊥CE于F，证△AEF是等腰直角三角形，得AF＝AE＝，由（1）得四边形ADCE是菱形，CD＝AD＝CE＝AE＝2，AB＝2AD＝4，则AD∥CE，由梯形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分四边形ADCE的一组对角∠EAD和∠ECD，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ECA，
在△ACD和△ACE中，，
∴△ACD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，CD＝CE，
∵点D是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∴CD＝AD＝CE＝AE，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：作AF⊥CE于F，如图所示：
则∠AFE＝90°，
∵∠E＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE＝×2＝，
由（1）得：四边形ADCE是菱形，CD＝AD＝CE＝AE＝2，AB＝2AD＝4，
∴AD∥CE，
∴四边形ABCE的面积＝（CE+AB）×AF＝（2+4）×＝3．

21．（8分）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　﹣　，＝　﹣　；
（2）利用你发现的规律计算：+++…+
（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．
【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解；
（2）利用前面的运算规律得到原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，然后合并后通分即可；
（3）利用前面的运算规律方程化为（﹣+﹣+…+﹣）＝，然后合并后解分式方程即可．
【解答】解：（1）＝﹣，＝﹣；
（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；
（3）（﹣+﹣+…+﹣）＝，
（﹣）＝
﹣＝，
＝，
解得x＝50，
经检验，x＝50为原方程的根．
故答案为﹣，﹣．
22．（10分）学校计划从某苗木基地购进A、B两咱树苗共200棵绿化校园．已知购买了3棵A种树苗和5棵B种树苗共需700元；购买2棵A种树苗和1棵B种树苗共需280元．
（1）每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？
（2）学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元．设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系；
（3）在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【分析】（1）设每棵A种树苗需x元，每棵B种树苗需y元，根据购买了3棵A种树苗和5棵B种树苗共需700元；购买2棵A种树苗和1棵B种树苗共需280元，列出方程组解答即可；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）根据题意列出不等式组，进而利用一次函数的性质解答．
【解答】解：（1）设每棵A种树苗需x元，每棵B种树苗需y元，列方程组，
解得，
答：每棵A种树苗需100元，每棵B种树苗需80元；
（2）设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，
y与x的函数关系为：y＝100（200﹣x）+80x+200×20＝﹣20x+24000；
（3）设学校购买B种树苗x棵，根据题意可得；，
解得80≤x≤100，
∵k＝﹣20＜0，y随x的增大而减小，即当x＝100时费用最少，
最少费用为y＝﹣20×100+24000＝22000（元）．
23．（8分）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．
（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．
求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；
（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4，正方形AEFG的边长为3，求BE的长．

【分析】（1）延长DG交BE于H，由“SAS”可证△DAG≌△BAE，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由四边形的内角和定理可证BE⊥DG；
（2）由正方形的性质可得BD＝AD＝8，GE＝AE＝6，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，

∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，
∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，
∴∠BHD＝90°，
∴DG⊥BE；
（2）如图3，连接BD，

∵正方形ABCD的边长是4，正方形AEFG的边长为3，
∴BD＝AD＝8，GE＝AE＝6，
∵BD2＝DE2+BE2，
∴64＝（6+BE）2+BE2，
∴BE＝﹣3．