高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算教案设计，共8页。







知识点 补集


1．全集


如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.


2．补集





eq \x(状元随笔)


全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．


∁UA的三层含义：


(1)∁UA表示一个集合；


(2)A是U的子集，即A ⊆U；


(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．


[教材解难]


理解补集应关注三点


(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是相互依存、不可分割的两个概念．





(2)∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．


(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．


[基础自测]


1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP等于( )


A．{x|x<－2或x≥3} B．{x|x<－2或x>3}


C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}


解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．


答案：A


2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝( )


A．{1,2,5,6} B．{1}


C．{2} D．{1,2,3,4}


解析：∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．


答案：B


3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )


A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}


C．{x|0≤x≤1} D．{x|0

解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，


所以∁U(A∪B)＝{x|0

答案：D


4．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.


解析：先计算∁UA，再计算(∁UA)∩B.


∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．


∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．


答案：{6,8}








题型一 补集的运算[教材P13例5]


例1 设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.


【解析】 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}.


列举法，先求出全集，再利用补集的定义求∁UA，∁UB.





教材反思


求补集的原则和方法


(1)一个基本原则．


求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．


(2)两种求解方法：


①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．


②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．





跟踪训练1 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝( )


A．∅ B．{1,3}


C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}


(2)设全集为R，集合A＝{x|0

A.{x|0

B．{x|0

C．{x|1≤x<2}


D．{x|0

解析：(1)本小题考查集合的运算．


∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．


利用补集定义直接求．


(2)本题主要考查集合的基本运算．


由B＝{x|x≥1}，得∁RB＝{x|x<1}，


借助于数轴，可得A∩(∁RB)＝{x|0




利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．


答案：(1)C (2)B


题型二 集合交、并、补的综合运算[经典例题]


例2 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )


A．{2,5} B．{3,6}


C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}


(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1

【解析】 (1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，


所以A∩(∁UB)＝{2,5}．


先求∁UB，再求A∩∁UB.


(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．





因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1

所以A∩B＝{x|－13}．


又P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，


所以(∁UB)∪P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0或x≥\f(5,2))))).


又∁UP＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．


【答案】 (1)A (2)见解析





方法归纳


求集合交、并、补运算的方法





跟踪训练2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：





由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，


A∩B＝{x|－2

∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，


(∁UA)∩B＝{x|－3

借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．





题型三 补集思想的应用[经典例题]


例3 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．


【解析】 先求A∩B＝∅时m的取值范围．


(1)当A＝∅时，①


方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.


(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②


设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝－42－42m＋6≥0，,x1＋x2＝4≥0，,x1x2＝2m＋6≥0，))③


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－1，,m≥－3，))解得－3≤m≤－1，


综上，当A∩B＝∅时，


m的取值范围是{m|m≥－3}．


又因为U＝R，④


所以当A∩B≠∅时，


m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．


所以，A∩B≠∅时，


m的取值范围是{m|m<－3}．


eq \x(状元随笔) ①A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况. A＝∅表示方程无实根．


②B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故A {x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．


③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－1＋x2－1>0，,x1－1x2－1>0，))


而不是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2>2，,x1x2>1.))





④由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m<－3}，结果相同.





方法归纳


(1)运用补集思想求参数范围的方法：


①否定已知条件，考虑反面问题；


②求解反面问题对应的参数范围；


③将反面问题对应参数的范围取补集．


(2)补集思想适用的情况：


从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．


跟踪训练3 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.


解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，


所以m2－m－1＝5，


解得m＝3或m＝－2.


当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，


此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；


当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，


此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．


综上，可知m＝3.


根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．








课时作业 4





一、选择题


1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )


A．{x|－1

C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}


解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．


化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.


答案：B


2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )


A．{1,3} B．{3,7,9}


C．{3,5,9} D．{3,9}


解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．


答案：D


3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1




A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}


C．{x|1

解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，


又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，


∴N∩(∁UM)＝{x|1

答案：C


4．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是( )


A．k≤2 B．k≥－1


C．k>－1 D．k≥2


解析：由(∁RM)⊇(∁RN)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.


答案：D


二、填空题


5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则B＝________.


解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，


由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，


由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB，


∴B＝{5,6,7,8,9}．


答案：{5,6,7,8,9}


6．已知全集U＝R，M＝{x|－1

解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0

∴N＝{x|x≤0或x≥2}，


∴M∪N＝{x|－1

答案：{x|x<1或x≥2}


7．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.


解析：因为A∪(∁UA)＝R，A∩(∁UA)＝∅，


所以a＝3，b＝4，


所以ab＝12.


答案：12


三、解答题


8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1

求：(1)A∩B；


(2)∁U(A∪B)；


(3)A∩(∁UB)．


解析：(1)因为A＝{x|－1

所以A∩B＝{x|－1

(2)A∪B＝{x|－1

＝{x|－1

∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．


(3)A∩(∁UB)＝{x|－13或x≤0}＝{x|－1

9．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求M，N.


解析：方法一 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，


如图，





∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．


方法二 ∵M∩(∁UN)＝{3,5}，


∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.


又∵(∁UM)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.


又∵(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，


∴∁U(M∪N)＝{2,17}，


∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．


[尖子生题库]


10．已知A＝{x|－1

(1)当m＝1时，求A∪B；


(2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围．


解析：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，


A∪B＝{x|－1

(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．


当B＝∅，即m≥1＋3m时，


得m≤－eq \f(1,2)，满足B⊆(∁RA)，


当B≠∅时，要使B⊆(∁RA)成立，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,1＋3m≤－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,m>3，))


解之得m>3.


综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－eq \f(1,2).