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2019-2020学年江苏省南通市如东县七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省南通市如东县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（3分）在实数3.1415，，，中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）如图，两条直线被第三条直线所截，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠5是同旁内角 B．∠1与∠2是邻补角
C．∠3与∠5是内错角 D．∠2与∠4是对顶角
4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，7，2 D．3，4，8
5．（3分）不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
B．为了了解某电视节目的收视率，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
7．（3分）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
8．（3分）已知|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，且y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
9．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根等于 ．
12．（3分）语句“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为 ．
13．（3分）某正n边形的一个内角为108°，则n＝ ．
14．（4分）已知a，b满足方程组，则a+b＝ ．
15．（4分）如图，直线AB∥DE，AC⊥BC，若∠1＝139°，则∠CAB＝ 度．
16．（4分）若点M（x，x+2）在第二象限，则整数x的值是 ．
17．（4分）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有 个．
18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．若A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）解不等式组．
20．（10分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？请列方程组求解．
21．（10分）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（5，2），B（2，﹣1），过点A画AC⊥x轴，垂足为C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy；
（2）写出点C的坐标；
（3）△ABC的面积为 ．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．
（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？
（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．
23．（12分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
24．（12分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）
78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
78≤x＜82
5
82≤x＜86
a
86≤x＜90
11
90≤x＜94
b
94≤x＜98
2
回答下列问题：
（1）以上30个数据中，中位数是 ；频数分布表中a＝ ；b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将△ABC进行平移，使点A，B，C分别移到点A′，B′，C′．已知A（0，t），B（0，n），A′（t，t），B′（m﹣n，t+4）．
（1）试用含t的式子表示m和n；
（2）若C（﹣2t，m+1），其中t＞0，求证：B′C∥x轴；
（3）在（2）的条件下，若S△BCB′＝3，求点C′的坐标．
26．（14分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数 （用含α和β的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．
2019-2020学年江苏省南通市如东县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（3分）在实数3.1415，，，中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3.1415是有限小数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2是整数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣5，4）位于第二象限．
故选：B．
3．（3分）如图，两条直线被第三条直线所截，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠5是同旁内角 B．∠1与∠2是邻补角
C．∠3与∠5是内错角 D．∠2与∠4是对顶角
【分析】依据同旁内角、邻补角、内错角以及对顶角的概念，即可得出结论．
【解答】解：A．∠1与∠5是同旁内角，说法正确；
B．∠1与∠2是邻补角，说法正确；
C．∠3与∠5不是内错角，∠4与∠5是内错角，故说法错误；
D．∠2与∠4是对顶角，说法正确；
故选：C．
4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，7，2 D．3，4，8
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、5+6＞10，能构成三角形；
B、5+6＝11，不能构成三角形；
C、5+2＝7，不能构成三角形；
D、3+4＜8，不能构成三角形．
故选：A．
5．（3分）不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2x＞1﹣3，
2x＞﹣2，
x＞﹣1，
故选：D．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
B．为了了解某电视节目的收视率，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，具有破环性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、为了了解某电视节目的收视率，应选择抽样调查，故此选项符合题意；
C、为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、为了了解某批次汽车的抗撞击能力，具有破环性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：B．
7．（3分）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
【分析】说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的反例为两个锐角的和小于90°即可．
【解答】解：利用∠A＝40°，∠B＝20°可判断“两个锐角的和是钝角”是假命题．
故选：A．
8．（3分）已知|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，且y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
【分析】根据非负数的性质列出方程组用m表示出y的值，再根据y＜0求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，
∴5﹣y﹣m＝0，y＝5﹣m．
∵y＞0，
∴5﹣m＞0，
解得m＜5．
故选：D．
9．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
10．（3分）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
【分析】根据三角形的内角和，四边形的内角和定理，以及三角形的外角的意义，得出∠ADC与α、β的关系．
【解答】解：在四边形ABCD中，
∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）
＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）
＝2（∠PCD+∠PAD）﹣α
＝2（∠ADC﹣β）﹣α，
∴∠ADC＝α+2β，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根等于 3 ．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：实数9的算术平方根是：＝3．
故答案为：3．
12．（3分）语句“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为 4x+3≤6 ．
【分析】“x的4倍”即4x，“与3的和”即“+3”，根据“不大于6”即≤6可得答案．
【解答】解：“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为4x+3≤6，
故答案为：4x+3≤6．
13．（3分）某正n边形的一个内角为108°，则n＝ 5 ．
【分析】易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n＝360°÷一个外角的度数．
【解答】解：∵正n边形的一个内角为108°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣108°＝72°，
∴n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
14．（4分）已知a，b满足方程组，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】直接将两方程相加进而得出a+b的值．
【解答】解：∵a，b满足方程组，
∴4a+4b＝﹣8，
则a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（4分）如图，直线AB∥DE，AC⊥BC，若∠1＝139°，则∠CAB＝ 49 度．
【分析】先根据三角形外角与内角的关系，求出∠2，再利用平行线的性质求出∠CAB．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°．
∵∠1＝∠C+∠2，
∴∠2＝∠1﹣∠C＝139°﹣90°
＝49°．
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠2＝49°．
故答案为：49．
16．（4分）若点M（x，x+2）在第二象限，则整数x的值是 ﹣1 ．
【分析】根据点M在第二象限列出关于x的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：∵点M（x，x+2）在第二象限，
∴，
解得﹣2＜x＜0，
∴整数x的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
17．（4分）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有 9 个．
【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．
【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得
当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；
当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；
当a＝8，b＝5时，则c＝4．
则满足条件的三角形共有9个．
故答案为：9．
18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．若A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，则实数m的取值范围是 0≤m≤2 ．
【分析】根据题意给出的公式列出不等式后即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，
∴d（A，B）＝3+2|1﹣m|≤5，
∴|1﹣m|≤1，
∴﹣1≤1﹣m≤1，
∴0≤m≤2，
故答案为0≤m≤2．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用绝对值和立方根的性质进行计算，然后再算加减即可；
（2）首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣﹣3＝﹣1；
（2），
由不等式①得x≤1，
由不等式②得x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1．
20．（10分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？请列方程组求解．
【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．
【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则
，
解得．
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．
21．（10分）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（5，2），B（2，﹣1），过点A画AC⊥x轴，垂足为C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy；
（2）写出点C的坐标；
（3）△ABC的面积为 3 ．
【分析】（1）直接利用已知点画出平面直角坐标系即可；
（2）根据坐标系得出答案；
（3）利用所在三角形面积减去一个三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）点C的坐标为：（5，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）△ABC的面积为：3×3﹣×1×3＝3；
故答案为：3．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．
（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？
（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．
【分析】（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，列出方程可求解；
（2）求得PA＝8，即可求得PB＝12，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵当点P是AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
∴3t＝16+，
解得t＝；
（2）∵3×8＝24，
∴AC+AP＝24，
∴AP＝8，BP＝12，
∵△APC和△BPC同高，
∴S△APC：S△BPD＝2：3．
23．（12分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ 平角等于180° ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；
证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°．
24．（12分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）
78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
78≤x＜82
5
82≤x＜86
a
86≤x＜90
11
90≤x＜94
b
94≤x＜98
2
回答下列问题：
（1）以上30个数据中，中位数是 86 ；频数分布表中a＝ 6 ；b＝ 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．
【分析】（1）将各数按照从小到大顺序排列，找出中位数，根据统计图与表格确定出a与b的值即可；
（2）补全直方图即可；
（3）求出样本中游戏学生的百分比，乘以300即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意排列得：78，81，81，81，81，83，83，84，84，85，85，86，86，86，86，86，86，88，89，89，89，89，90，92，92，93，93，93，94，97，可得中位数为86，频数分布表中a＝6，b＝6；
故答案为：86；6；6；
（2）补全频数直方图，如图所示：
（3）根据题意得：300×＝190，
则该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数为190人．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将△ABC进行平移，使点A，B，C分别移到点A′，B′，C′．已知A（0，t），B（0，n），A′（t，t），B′（m﹣n，t+4）．
（1）试用含t的式子表示m和n；
（2）若C（﹣2t，m+1），其中t＞0，求证：B′C∥x轴；
（3）在（2）的条件下，若S△BCB′＝3，求点C′的坐标．
【分析】（1）根据平移变换坐标之间的关系构建方程组求解即可．
（2）利用（1）中结论证明点B′，点C的纵坐标相等即可．
（3）利用三角形的面积公式求出t的值，再利用平移变换的规律解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意，，
解得．
（2）∵C （﹣2t，m+1），m＝2t+4，
∴C （﹣2t，t+4），
∵B′（t，t+4），且t＞0，
∴B′C∥x轴．
（3）∵B（0，t+4），B′（t，t+4），C （﹣2t，t+4）
∴S△BCB′＝（t+2t）（）＝3，
解得t＝2（负值已舍去），
∴A（0，2），A′（2，3），C（﹣4，7），
∵点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A′，
∴C（﹣4，7）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到C′，
∴C′（﹣2，8）．
26．（14分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ 36 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数 （用含α和β的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．
【分析】（1）结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．连结AD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可．
（2）①利用（1）中结论计算即可．
②图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，构建方程组解决问题即可．
③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连结AD并延长到点E．
∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠B，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为36．
②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，
则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，
∴∠DCE＝．
故答案为．
③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°．
由题意可得，
解得∠A＝55°．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（3分）在实数3.1415，，，中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）如图，两条直线被第三条直线所截，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠5是同旁内角 B．∠1与∠2是邻补角
C．∠3与∠5是内错角 D．∠2与∠4是对顶角
4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，7，2 D．3，4，8
5．（3分）不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
B．为了了解某电视节目的收视率，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
7．（3分）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
8．（3分）已知|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，且y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
9．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根等于 ．
12．（3分）语句“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为 ．
13．（3分）某正n边形的一个内角为108°，则n＝ ．
14．（4分）已知a，b满足方程组，则a+b＝ ．
15．（4分）如图，直线AB∥DE，AC⊥BC，若∠1＝139°，则∠CAB＝ 度．
16．（4分）若点M（x，x+2）在第二象限，则整数x的值是 ．
17．（4分）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有 个．
18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．若A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）解不等式组．
20．（10分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？请列方程组求解．
21．（10分）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（5，2），B（2，﹣1），过点A画AC⊥x轴，垂足为C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy；
（2）写出点C的坐标；
（3）△ABC的面积为 ．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．
（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？
（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．
23．（12分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
24．（12分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）
78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
78≤x＜82
5
82≤x＜86
a
86≤x＜90
11
90≤x＜94
b
94≤x＜98
2
回答下列问题：
（1）以上30个数据中，中位数是 ；频数分布表中a＝ ；b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将△ABC进行平移，使点A，B，C分别移到点A′，B′，C′．已知A（0，t），B（0，n），A′（t，t），B′（m﹣n，t+4）．
（1）试用含t的式子表示m和n；
（2）若C（﹣2t，m+1），其中t＞0，求证：B′C∥x轴；
（3）在（2）的条件下，若S△BCB′＝3，求点C′的坐标．
26．（14分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数 （用含α和β的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．
2019-2020学年江苏省南通市如东县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（3分）在实数3.1415，，，中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、3.1415是有限小数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、＝2是整数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣5，4）位于第二象限．
故选：B．
3．（3分）如图，两条直线被第三条直线所截，在所标识的角中，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1与∠5是同旁内角 B．∠1与∠2是邻补角
C．∠3与∠5是内错角 D．∠2与∠4是对顶角
【分析】依据同旁内角、邻补角、内错角以及对顶角的概念，即可得出结论．
【解答】解：A．∠1与∠5是同旁内角，说法正确；
B．∠1与∠2是邻补角，说法正确；
C．∠3与∠5不是内错角，∠4与∠5是内错角，故说法错误；
D．∠2与∠4是对顶角，说法正确；
故选：C．
4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，7，2 D．3，4，8
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、5+6＞10，能构成三角形；
B、5+6＝11，不能构成三角形；
C、5+2＝7，不能构成三角形；
D、3+4＜8，不能构成三角形．
故选：A．
5．（3分）不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2x＞1﹣3，
2x＞﹣2，
x＞﹣1，
故选：D．
6．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
B．为了了解某电视节目的收视率，选择抽样调查
C．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，具有破环性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、为了了解某电视节目的收视率，应选择抽样调查，故此选项符合题意；
C、为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，意义重大，应采用全面调查，故此选项不合题意；
D、为了了解某批次汽车的抗撞击能力，具有破环性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：B．
7．（3分）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝20° B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝40°，∠B＝90° D．∠A＝40°，∠B＝120°
【分析】说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的反例为两个锐角的和小于90°即可．
【解答】解：利用∠A＝40°，∠B＝20°可判断“两个锐角的和是钝角”是假命题．
故选：A．
8．（3分）已知|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，且y＞0，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣5 B．m＜﹣5 C．m＞5 D．m＜5
【分析】根据非负数的性质列出方程组用m表示出y的值，再根据y＜0求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵|2x+4|+（5﹣y﹣m）2＝0，
∴5﹣y﹣m＝0，y＝5﹣m．
∵y＞0，
∴5﹣m＞0，
解得m＜5．
故选：D．
9．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
10．（3分）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A．180°﹣α﹣β B．α+β C．α+2β D．2α+β
【分析】根据三角形的内角和，四边形的内角和定理，以及三角形的外角的意义，得出∠ADC与α、β的关系．
【解答】解：在四边形ABCD中，
∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）
＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）
＝2（∠PCD+∠PAD）﹣α
＝2（∠ADC﹣β）﹣α，
∴∠ADC＝α+2β，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，第11～13小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共29分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根等于 3 ．
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：实数9的算术平方根是：＝3．
故答案为：3．
12．（3分）语句“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为 4x+3≤6 ．
【分析】“x的4倍”即4x，“与3的和”即“+3”，根据“不大于6”即≤6可得答案．
【解答】解：“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为4x+3≤6，
故答案为：4x+3≤6．
13．（3分）某正n边形的一个内角为108°，则n＝ 5 ．
【分析】易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n＝360°÷一个外角的度数．
【解答】解：∵正n边形的一个内角为108°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣108°＝72°，
∴n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
14．（4分）已知a，b满足方程组，则a+b＝ ﹣2 ．
【分析】直接将两方程相加进而得出a+b的值．
【解答】解：∵a，b满足方程组，
∴4a+4b＝﹣8，
则a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．（4分）如图，直线AB∥DE，AC⊥BC，若∠1＝139°，则∠CAB＝ 49 度．
【分析】先根据三角形外角与内角的关系，求出∠2，再利用平行线的性质求出∠CAB．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°．
∵∠1＝∠C+∠2，
∴∠2＝∠1﹣∠C＝139°﹣90°
＝49°．
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠2＝49°．
故答案为：49．
16．（4分）若点M（x，x+2）在第二象限，则整数x的值是 ﹣1 ．
【分析】根据点M在第二象限列出关于x的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：∵点M（x，x+2）在第二象限，
∴，
解得﹣2＜x＜0，
∴整数x的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
17．（4分）△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有 9 个．
【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．
【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得
当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；
当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；
当a＝8，b＝5时，则c＝4．
则满足条件的三角形共有9个．
故答案为：9．
18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|．若A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，则实数m的取值范围是 0≤m≤2 ．
【分析】根据题意给出的公式列出不等式后即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵A（2，1），B（﹣1，m），且d（A，B）≤5，
∴d（A，B）＝3+2|1﹣m|≤5，
∴|1﹣m|≤1，
∴﹣1≤1﹣m≤1，
∴0≤m≤2，
故答案为0≤m≤2．
三、解答题（本大题共8小题，共91分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：+|﹣2|﹣；
（2）解不等式组．
【分析】（1）利用绝对值和立方根的性质进行计算，然后再算加减即可；
（2）首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣﹣3＝﹣1；
（2），
由不等式①得x≤1，
由不等式②得x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1．
20．（10分）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？请列方程组求解．
【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．
【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则
，
解得．
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．
21．（10分）在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为A（5，2），B（2，﹣1），过点A画AC⊥x轴，垂足为C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy；
（2）写出点C的坐标；
（3）△ABC的面积为 3 ．
【分析】（1）直接利用已知点画出平面直角坐标系即可；
（2）根据坐标系得出答案；
（3）利用所在三角形面积减去一个三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）点C的坐标为：（5，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）△ABC的面积为：3×3﹣×1×3＝3；
故答案为：3．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．
（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？
（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．
【分析】（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，列出方程可求解；
（2）求得PA＝8，即可求得PB＝12，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵当点P是AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
∴3t＝16+，
解得t＝；
（2）∵3×8＝24，
∴AC+AP＝24，
∴AP＝8，BP＝12，
∵△APC和△BPC同高，
∴S△APC：S△BPD＝2：3．
23．（12分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ 平角等于180° ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；
证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根据三角形外角性质得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°．
24．（12分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）
78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
78≤x＜82
5
82≤x＜86
a
86≤x＜90
11
90≤x＜94
b
94≤x＜98
2
回答下列问题：
（1）以上30个数据中，中位数是 86 ；频数分布表中a＝ 6 ；b＝ 6 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．
【分析】（1）将各数按照从小到大顺序排列，找出中位数，根据统计图与表格确定出a与b的值即可；
（2）补全直方图即可；
（3）求出样本中游戏学生的百分比，乘以300即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意排列得：78，81，81，81，81，83，83，84，84，85，85，86，86，86，86，86，86，88，89，89，89，89，90，92，92，93，93，93，94，97，可得中位数为86，频数分布表中a＝6，b＝6；
故答案为：86；6；6；
（2）补全频数直方图，如图所示：
（3）根据题意得：300×＝190，
则该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数为190人．
25．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将△ABC进行平移，使点A，B，C分别移到点A′，B′，C′．已知A（0，t），B（0，n），A′（t，t），B′（m﹣n，t+4）．
（1）试用含t的式子表示m和n；
（2）若C（﹣2t，m+1），其中t＞0，求证：B′C∥x轴；
（3）在（2）的条件下，若S△BCB′＝3，求点C′的坐标．
【分析】（1）根据平移变换坐标之间的关系构建方程组求解即可．
（2）利用（1）中结论证明点B′，点C的纵坐标相等即可．
（3）利用三角形的面积公式求出t的值，再利用平移变换的规律解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意，，
解得．
（2）∵C （﹣2t，m+1），m＝2t+4，
∴C （﹣2t，t+4），
∵B′（t，t+4），且t＞0，
∴B′C∥x轴．
（3）∵B（0，t+4），B′（t，t+4），C （﹣2t，t+4）
∴S△BCB′＝（t+2t）（）＝3，
解得t＝2（负值已舍去），
∴A（0，2），A′（2，3），C（﹣4，7），
∵点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A′，
∴C（﹣4，7）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到C′，
∴C′（﹣2，8）．
26．（14分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过
点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝ 36 °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数 （用含α和β的式子表示）；
③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．
【分析】（1）结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．连结AD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可．
（2）①利用（1）中结论计算即可．
②图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，构建方程组解决问题即可．
③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连结AD并延长到点E．
∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠B，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案为36．
②如图3中，设∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y，
则有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，
∴∠DCE＝．
故答案为．
③设∠ABD＝x°，∠ACD＝y°．
由题意可得，
解得∠A＝55°．
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