2020届二轮复习 函数的图象与性质 学案（全国通用）
展开培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．（2）的单调递增区间为________．【答案】（1）D；（2），【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．（2）由题意知，当时，；当时，，二次函数的图象如图．由图象可知，函数在，上是增函数． 2．利用单调性求最值例2：函数的最小值为________．【答案】1【解析】易知函数在上为增函数，∴时，． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）A． B． C． D． （2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．【答案】（1）D；（2）【解析】（1）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，因为，且，所以．（2）由题意知，，由得或解得或． ４．奇偶性例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，，所以，所以． ５．轴对称例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）A．404 B．804 C．806 D．402【答案】C【解析】，为偶函数，，关于，轴对称，为周期函数，且， 将划分为关于，轴对称，，，在中只含有四个零点，而共201组所以；在中，含有零点，共两个，所以一共有806个零点 ６．中心对称例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A．是偶函数 B．是奇函数C． D．是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看的性质，由，为奇函数分别可得到：，，所以关于，中心对称，双对称出周期可求得，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A，B．对于D选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移3个单位，即关于对称，所以为奇函数，D正确． ７．周期性的应用例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）A． B．1 C．0 D．无法计算【答案】C【解析】由题意，得，∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， ∴，，∴，∴，∴，∴的周期为4，∴，，又∵，∴． 一、选择题1．若函数的单调递增区间是，则的值为（ ）A． B．2 C． D．6【答案】C【解析】由图象易知函数的单调增区间是，令，∴．2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使在上是增函数，则且，即．3．设函数，则是（ ）A．奇函数，且在内是增函数B．奇函数，且在内是减函数C．偶函数，且在内是增函数D．偶函数，且在内是减函数【答案】A【解析】易知的定义域为，且，则为奇函数，又在上是增函数，所以在上是增函数．4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵函数图象关于对称，∴，又在上单调递增，∴，即，故选B．5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由已知得，，则有解得，故选B．6．函数的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B．当时，，排除C，故选D．7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】∵为偶函数，∴，则，又为奇函数，则，且．从而，的周期为4．∴，故选A． 8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】与的图象关于轴对称的函数为．依题意，的图象向右平移一个单位，得的图象．∴的图象由的图象向左平移一个单位得到．∴．9．使成立的的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A．10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则，，的大小关系是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，∴函数的周期是2．∵函数为偶函数，∴，．∵在区间上是单调递增的，∴，即．11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，则（ ）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】的图象关于对称，则函数的图象关于对称，即函数是偶函数，令，则，∴，即，则， 即，则函数的周期是2，又，则．12．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可知，，若，则，即，即，解得．所以实数的取值范围为，故选D． 二、填空题13．设函数，，则函数的递减区间是_______．【答案】【解析】由题意知，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，的减区间是．14．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则________．【答案】【解析】由于函数是周期为4的奇函数，所以．15．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】如图作出函数与的图象，观察图象可知：当且仅当，即时，不等式恒成立，因此的取值范围是．16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________．【答案】【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，∴． 三、解答题17．已知函数，其中是大于0的常数．（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由，得，当时，恒成立，定义域为，当时，定义域为，当时，定义域为．（2）设，当，时，∴．因此在上是增函数，∴在上是增函数．则．（3）对任意，恒有．即对恒成立．∴．令，．由于在上是减函数，∴．故时，恒有．因此实数的取值范围为．18．设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，．（1）判定的奇偶性；（2）试求出函数在区间上的表达式．【答案】（1）是偶函数；（2）．【解析】（1）∵，∴．又，∴．又的定义域为，∴是偶函数．（2）当时，，则；进而当时，，．故．
