2020届二轮复习双重最值问题的解决策略学案（全国通用）

专题5    双重最值问题的解决策略形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则（1）；（2）．证明：设，则，，，所以，当且仅当时取等，即．【题型综述】一、一元双重最值问题1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．例1：若，求的最大值．解：由，由，由，故可得，对每一段求值域可知当时，取得最大值．2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．例2：（2007年浙江数竞赛）设，求．解：分别画出，，的图象，得到的图象如粗体部分所示．联立，解得，联立，解得，故由图可知当时，的最大值为．二、多元一次函数的双重最值问题1．利用不等式的性质例3：设（，，，，），，，求的最小值．解：由，当，，时，取得最小值．2．利用绝对值不等式例4：求函数在区间上的最大值的最小值．解：注意到，且，所以，当且仅当，即时，取得最小值．3．利用均值不等式例5：（2002年北京高中数竞赛）若，，求．解：设，则， ，，所以，当且仅当， 有最小值，即．4．利用柯西不等式例6：若，，且，求．解：设，则，，，由柯西不等式得，当且仅当取等，即．5．分类讨论例7：若，，求的值．解：设，则，，，①当时，，，当且仅当时取等；②当时，，，当且仅当时取等．综上，，当且仅当时取等，即．6．待定系数法例8：若，，求的值．解：设，则，，，且，，当且仅当且时取等，即，时，，即．7．构造函数例9：设，，，（），求．解：注意到为次函数且，联想到三倍角公式，因此先构造特殊函数，，若设，，则，从而，当且仅当，，，，即或时取等，故猜测．设，注意到（可用待定系数法求得），故，即，考虑到，时，，故．8．利用韦达定理例10：若，，且，，求．解：注意到，，的对称性，故可设，又，，所以方程有两个不大于的实根，故，当，时，．9．数形结合例11：（2014浙江竞赛）若，且，求．解：我们在同一坐标系中画出，，的图象，则由图可知当且仅当过，时，才有，所以．