2020届二轮复习二次函数学案（全国通用）

2020届二轮复习    二次函数  学案一．基础知识1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，时，3．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)4．注意二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系与转化。二．重点、难点1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。三．题型剖析1．求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。思维分析：恰当选择二次函数的解析式法一：利用一般式设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得： ∴f(x)= - 4x2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)= f(-1)   ∴对称轴   又最大值是8∴可设，由f(2)= -1可得a= - 4 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又得a= - 4或a=0(舍)  ∴f(x)= - 4x2+4x+7变式一：书P21例2练习已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件：(1)图象过原点       (2)f(-x+2002)=f(x-2000)           (3)方程f(x)=x有重根。解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴可确定，由(3) f(x)=x即ax2+（b-1）x+c=0有重根2．二次函数在区间上的最值问题例2：书P21例1变式一：已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解：f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴x=a10  a<0时，             20  0≤a≤1时 30  a>1时，综上所述：a= - 1或a=2练习2：已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。答案：3．一元二次方程根的分布及取值范围例3．书P21例3变式一．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴与区间相对位置。解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图     （2）                练习：方程在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。宜采用函数思想，求的值域。   四．小结1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。2．二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。3．二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象列不等式组求解。4．三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。五．作业：优化设计备例1（应用）：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元，（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为∴租出100-12=88辆。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为整理： 答：每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大307050元。备例2：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，其图象的对称轴为x=x0,又方程f(x)-x=0的两个实根x1,x2 ①若x1<2<x2<4,求证：x0>-1②若，求b的取值范围。