2020届二轮复习极值点偏移第五招---函数的选取学案（全国通用）

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围；   （2）求证：；（3）求证：；   （4）求证：．解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，*在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数，则*（4）（i）同上；（ii）构造函数，则 当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，． 点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，， 由不妨设． 【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：①若，则，结论成立；②当时，类似于原解答．而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数来做，用函数来做．* 练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知（1）求的单调区间；（2）设, ，为函数的两个零点，求证.提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数有两个零点，求证：.只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，*同理构造函数，利用单调性证明，下略.★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.（1）证明：；（2）证明：.又构造函数：，则，故在上单调递增，由于时，，且，故必存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又时，，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，*再由，且在上单调递增，故，即证：成立.综上：即证成立.从而对恒成立，同理得出：.综上：即证成立，也即原不等式成立. *★已知函数．（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．（2）因为，①当时， ， ，所以函数在上单调递增，则；②当，即时， ， ，所以函数在上单调递增，则；③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；*④当，即时， ， ，函数在上单调递减，则．综上，当时， ；当时， ；当时， ．令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立．所以，即成立，所以原不等式成立．*【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.