2020届二轮复习线性规划学案（全国通用）
展开培优点九 线性规划
1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到
例1：已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】不等式组对应的可行域如图所示：
由当动直线过时，取最小值为6，故选C．
2．目标函数为二次式
例2：若变量，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】目标函数可视为点到原点距离的平方，
所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，
观察可得最远的点为，所以．
3．目标函数为分式
例3：设变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】所求可视为点与定点连线的斜率．
从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，
可得在处的斜率最小，即，
在处的斜率最大，为，
结合图像可得的范围为．故选D．
4．面积问题
例4：若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在坐标系中作出可行域，
如图所示为一个三角形，动直线为绕定点的一条动直线，
设直线交于，若将三角形分为面积相等的两部分，则，
观察可得两个三角形高相等，所以，即为中点，
联立直线方程可求得，，则，代入直线方程可解得．
一、单选题
1．若实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，
由在轴上的截距越小，目标函数值越大，
所以最优解为，所以的最大值为1，故选B．
2．已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】满足约束条件，如图所示：
可知范围扩大，实际只有，
其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为．故选B．
3．已知实数，满足，若只在点处取得最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式组作可行域如图，
联立，解得,当时，目标函数化为，
由图可知，可行解使取得最大值，符合题意；
当时，由，得，此直线斜率大于0，
当在轴上截距最大时最大，
可行解为使目标函数的最优解，符合题意；
当时，由，得，此直线斜率为负值，
要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，
则，即．
综上，实数的取值范围是．故选C．
4．已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，
由题意得，．
由得，
所以可看作点和连线的斜率，记为，
由图形可得，
又，，所以，
因此或，所以的取值范围为．故选C．
5．若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图：
∵，，∴，
联立，解得，
的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值．
故选D．
6．已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出可行域如图：
观察图象可知，最小距离为点到直线的距离，
即，故选C．
7．，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A．或 B．2或 C．2或1 D．2或
【答案】D
【解析】由题意作出约束条件，平面区域，
将化为，相当于直线的纵截距，
由题意可得，与或与平行，
故或；故选D．
8．若，满足不等式组，则成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
因为表示点与定点连线的斜率，
所以成立的点只能在图中的内部（含边界），
所以由几何概型得：成立的概率为，
由，得，由，得，
由，得，由，解得，
由，解得，所以，，
所以成立的概率为，故选A．
9．若，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C． D．4
【答案】C
【解析】画出可行城如图所示，
目标函数可化为，共图象是对称轴为的两条射线，
由得取得最小值时的最优解为．
即．故选C．
10．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上动点，点的坐标为．则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】如图所示：，即，
首先做出直线：，将平行移动，
当经过点时在轴上的截距最大，从而最大．
因为，故的最大值为4．故选C．
11．若不等式组所表示的平面区域内存在点，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出不等式，可行域如图：
∵平面区域内存在点，满足，
∴直线与可行域有交点，解方程组得．
∴点在直线下方．可得．解得．故选B．
12．已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，
则圆心与点连线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】画出可行域如图，
由圆的标准方程可得圆心，半径为1，
因为圆与轴相切，所以，
直线分别与直线与交于点，，
所以，圆心与点连线斜率为，
当时，；当时；
所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A．
二、填空题
13．设，满足，则的最大值为____________．
【答案】13
【解析】如图，作出可行域（图中阴影部分），
目标函数在点取得最大值13．故答案为13．
14．若变量，满足约束条件，则的最小值为_________．
【答案】1
【解析】作可行域，，表示可行域内点到坐标原点距离的平方，
由图可得最小值为．
15．已知实数，满足，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由实数，满足，作出可行域如图，
联立，解得，，
其几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率加2．
∵，∴的最小值为4．故答案为4．
16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损的概率为，年利润获利的概率为，年利润获利的概率为，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为的概率为，持平的概率为，年利润亏损的可能性为．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．
【答案】
【解析】设本地养鱼场平均年利润，远洋捕捞队平均平均年利润；
，；
设本地养鱼场投千万元，远洋捕捞队投千万元，
则利润之和，，
如图，当目标函数经过点时利润最大，千万元．
