2020届二轮复习归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法教案（全国通用）
展开【例1】在数列{}中，，且，
（1）求的值；
（2）猜测数列{}的通项公式，并用数归纳法证明.
【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.
【反馈检测1】在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（1）分别计算，和，的值；
（2）求数列的通项公式（将用表示）；
（3）设数列的前项和为，证明：，．
方法二 | 公式法 |
使用情景 | 已知数列是等差数列或等比数列或已知. |
解题步骤 | 已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. * |
【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．
（1）求；（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求使成立的最小正整数的值．
【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.
【反馈检测2】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.
(1)求；(2)设,求数列的前项和.
【例3】数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式.
【点评】（1）已知，一般利用和差法.如果已知也可
以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分.
【例4】已知函数 ，是数列的前项和，点（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）因为点在曲线上，又，所以.
当时，.
当时，
所以.
（Ⅱ）因为 ①所以
②
③
②－③得
.
整理得， ④
方法一 利用差值比较法
由④式得，所以
因为，所以.
又，所以所以，
所以. 所以Tn存在最大值
方法三 利用放缩法
由①式得，又因为是数列的前项和，
所以. 所以
所以存在最大值.
【反馈检测3】已知数列{}的前n项和()，求{}的通项公式.
方法三 | 累加法 |
使用情景 | 在已知数列中相邻两项存在：的关系 |
解题步骤 | 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项. |
【例4】已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：.
【解析】（1）法一：，
【点评】（1）本题，符合累加法的使用情景，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是个，不是个.
【反馈检测4】已知数列满足，求数列的通项公式.
方法四 | 累乘法 |
使用情景 | 若在已知数列中相邻两项存在：的关系. |
解题步骤 | 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. |
【例5】已知数列满足
【点评】（1）由已知得符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出个等式就可以了，不必写个等式.
【反馈检测5】 已知数列满足，求数列的通项公式.
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：
数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案
【反馈检测1答案】，，，.
①当时，，，猜想成立；
②假设时，猜想成立，即,，那么
,
∴时，猜想也成立．由①②，根据数归纳法原理，对任意的，猜想成立．
∴当为奇数时，；
当为偶数时，．
即数列的通项公式为．
（方法2）由（2）得．
以下用数归纳法证明，．
①当时，；
当时，．∴时，不等式成立．
②假设时，不等式成立，即，
那么，当为奇数时，
；
当为偶数时，
．∴时，不等式也成立．
综上所述：
【反馈检测2答案】（1）；(2) =.
【反馈检测3答案】
【反馈检测4答案】*
【反馈检测4详细解析】由得则
所以
【反馈检测5答案】
【反馈检测5详细解析】因为，所以，则，
故
所以数列的通项公式为
