2020二轮复习(理)　选修4－5　不等式选讲作业 练习

专题限时集训(十六)　选修4－5　不等式选讲(建议用时：20分钟)1．已知函数f(x)＝|a－3x|－|2＋x|.(1)若a＝2，解不等式f(x)≤3；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝2时，不等式f(x)≤3即|2－3x|－|2＋x|≤3，则或或解得－≤x≤，所以不等式f(x)≤3的解集为.(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|等价于|a－3x|－3|2＋x|≥1－a，即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a.由绝对值不等式的性质知|3x－a|－|3x＋6|≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝|a＋6|.若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，则|a＋6|≥1－a，解得a≥－，所以实数a的取值范围是 .2．已知函数f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R)．(1)求f(x)的最大值m；(2)设a，b，c为正实数，且2a＋3b＋4c＝m，求证：＋＋≥3.[解](1)法一：由f(x)＝知f(x)∈[－3,3]，即m＝3.法二：由绝对值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3.法三：由绝对值不等式的几何意义知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R)，即m＝3.(2)证明：∵2a＋3b＋4c＝3(a，b，c＞0)，∴＋＋＝(2a＋3b＋4c)·＝≥3.当且仅当2a＝3b＝4c，即a＝，b＝，c＝时取等号，即＋＋≥3.3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为a－1，求实数a的值．[解]　 (1)f(x)＋|x－1|≥2可化为＋|x－1|≥1.∵＋|x－1|≥，∴≥1, 解得a≤0或a≥4.∴实数a的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为和1，当a＜2时，＜1，∴f(x)＝易知f(x)在单调递减，在单调递增，∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝＜2.∴a＝.内容押题依据分段函数的图象含绝对值不等式的解法以含有两个绝对值的函数为背景，考查不等式的解法，考查分类讨论、数形结合思想、转化化归思想和应用意识.【押题】　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．[解](1)由题意知f(x)＝由f(x)≥3可知：(ⅰ)当x≥1时，3x≥3，即x≥1；(ⅱ)当－＜x＜1时，x＋2≥3，即x≥1，与－＜x＜1矛盾，舍去；(ⅲ)当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，其中A，B(1,3)，由直线AB的斜率kAB＝1，知直线y＝x＋a与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2.易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点C，D，则|CD|＝·＝a，平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a＞2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，故所求实数a的值为4.