2020届二轮复习函数的应用课时作业（全国通用） 练习

第三章 函数的应用

1．(2019·沈阳期末)函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为(　　)

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

解析：选B. 因为f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，

根据零点存在性定理，得f(x)的零点所在区间为(1，2)．

故选B.

2．已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－k恰有两个零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.   B.

C. D．(0，1)

解析：选A.函数g(x)＝f(x)－k恰有两个零点，

即为f(x)＝k有两个不等实根，

即函数y＝f(x)和y＝k有两个交点，

作出y＝f(x)的草图，

由x≥3时，f(x)＝＋∈，

由图象可得＜k＜1，

故选A.

3．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：

lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)

A．8 B．9

C．10 D．11

解析：选D. 设至少需要过滤n次，则0.02×≤0.001，

即≤，

所以nlg≤－lg 20，

即n≥＝≈10.42，

又n∈N，所以n≥11，

所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．

故选D.

4．已知方程2x＝8－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝____________．

解析：由2x＝8－x得2x＋x－8＝0，令f(x)＝2x＋x－8，

因为f(1)＝2＋1－8＝－5＜0，f(2)＝4＋2－8＝－2＜0，f(3)＝8＋3－8＝3＞0，

根据零点存在性定理得f(x)的零点在(2，3)内，所以k＝2，

答案：2

5．某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售岀8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最大？最大利润是多少？

解：(1)y＝(2 400－2 000－x)(8＋0.08x)＝(400－x)×(8＋0.08x)＝－0.08x2＋24x＋3 200.

(2)当y＝4 800时，－0.08x2＋24x＋3 200＝4 800，解这个方程得x1＝100，x2＝200.

因为若要使老百姓获得更多实惠，则x1＝100不符合题意，舍去．

答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．

(3)由y＝－0.08x2＋24x＋3 200，当x＝＝150时，y最大，最大为－0.08×1502＋24×150＋3 200＝5 000.

答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最大，最大利润是5 000元．

6．小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润y(单位：万元)与投入成本x(单位：万元)的数据如下：

为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型f(x)＝ax2＋b，g(x)＝p·2x＋q中选一个进行预测．

(1)根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由)，并预测她投入8万元时的毛利润；

(2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率r的最大值，并说明理由．( 毛利润率＝)

解：(1)先求第一个模型f(x)＝ax2＋b的解析式，

由已知数据可得

解得

所以f(x)＝x2＋1(0<x≤10)，

同理可求得g(x)＝·2x＋1(0<x≤10)．

选择f(x)＝x2＋1(0<x≤10)作为较好的模型，

当x＝8万元时，y＝17万元．

(2)由已知得r＝＝＝＋(2≤x≤10)，

设2≤x1＜x2≤10，则r1＝＋，r2＝＋，r2－r1＝－＝.

因为2≤x1＜x2≤10，

所以x2－x1＞0，x1x2－4＞0，

所以r2－r1＞0，

所以r＝＝＋在[2，10]上是增函数，

所以当x＝10万元时，rmax＝＋＝.

答：(1)选择f(x)＝x2＋1(0<x≤10)作为较好的模型，她投入8万元时的毛利润为17万元．

(2)小萌准备最少投入2万元开办加工厂，加工厂毛利润率r的最大值为万元．