2019届二轮复习 不等式选讲 学案（全国通用）



1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）.
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.
8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.学

1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 x a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
x {x -a

x >a
{ >a或x<-a}
{ ∈R且x≠0}
R
(2) ax+b ≤c(c>0)和 ax+b ≥c(c>0)型不等式的解法
ax+b ≤c⇔-c≤ax+b≤c;
ax+b ≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3) x-a + x-b ≥c和 x-a + x-b ≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2．绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则 a+b ≤ a + b ,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么 a-c ≤ a-b + b-c ,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
(3)推论1: a - b ≤ a+b .
(4)推论2: a - b ≤ a-b .
【技能方法】
（一）含绝对值不等式的解法

方法
解读
适合题型
1
公式法
利用公式 x 0)和 x >a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式
f(x) >g(x)或 f(x) 2
平方法
利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负
f(x) ≥ g(x) ⇔f(x)2≥g2(x)
3
零点分段法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
f(x) ± g(x) ≥a， f(x) ± g(x) ≤a
4
几何法
利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解
x±a ± x±b ≤c，
x±a ± x±b ≥c
5
图象法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数
如 f(x) + g(x) ≥a可构造y= f(x) + g(x)
-a或y= f(x) + g(x) 与y=a
（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律
1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.
2．巧用“ a - b ≤ a±b ≤ a + b ”求最值.
(1)求 a - b 的范围:若a±b为常数M,可利用 a - b ≤ a±b ⇔- M ≤ a - b ≤ M 确定范围.
(2)求 a + b 的最小值:若a±b为常数M,可利用 a + b ≥ a±b = M ,从而确定其最小值.
3．f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.
二、不等式的证明
1．基本不等式
(1)基本不等式:如果a,b>0,那么，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
2．柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则 α·β ≤ α β ,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数 使α= β时,等号成立.
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么.
(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数 使得ai= bi(i=1,2,…,n)时,等号成立.学
3.证明不等式的基本方法
(1)比较法;
(2)综合法;
(3)分析法;
(4)反证法和放缩法;
(5)数学归纳法.

考向一 绝对值不等式的求解
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）基本性质法：对.
（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.
（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.
（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.

典例1 不等式的解集是
A．[-5，7 B．[-4，6
C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式即：，解得：；
当时，不等式即，此时不等式无解；
当时，不等式即：，解得：.
综上可得，不等式的解集为.学
典例2 已知函数，且不等式的解集为，．
（1）求的值；
（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值．


1．不等式的解集为
A． B．
C． D．
2．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若，求实数的取值范围．
考向二 含绝对值不等式的恒成立问题
含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分享参数法
运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.

典例3 若不等式log2( x+1 + x-2 −m)≥2恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　. 
【答案】(−∞,-1 　　

典例4 已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围.

（2），
令，
∴时，，
要使不等式恒成立，只需，即，
∴实数a的取值范围是．学^

3．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
考向三 不等式的证明
比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.

典例5 已知函数，M为不等式f(x) ＜2的解集.
（1）求M；
（2）证明：当a，b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣.

（2）由（1）知，当时，，从而
，
因此

4．已知，，．证明：
（1）；
（2）．


1．不等式的解集为
A．（0,1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1,0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2．不等式取等号的条件是
A． B．
C． D．
3．若关于的不等式的解集为,则
A．或 B．
C． D．
4．已知不等式 x+2 − x ≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是
A．[−2,+∞) B．[2,+∞)
C．[−2,2) D．(−∞,2
5．若a，b，c为正数，且a+b+c=1，则++的最小值为
A．9 B．8
C．3 D．
6．已知,若关于x的不等式对于任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是
A．(−1,3) B．(−1,1)
C．(1,3) D．(−3,1)
7．若函数的最小值3，则实数的值为
A．或 B．或
C．或 D．5或
8．不等式的解集为___________.
9．设函数，若，则的取值范围是___________.
10．已知不等式 2x−a +a≤6的解集为[−2,3 ,则实数a的值为___________.
11．已知不等式 2x−1 >a− x−2 恒成立,则实数a的取值范围为___________.
12．已知函数f(x)=x−1(x≠0,x∈R),则不等式f( x+ )+f( x+2 )>1的解集为___________. 
13．已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________.
14．已知关于的不等式无解，则实数 的取值范围是___________.
15．设函数.若存在，使得成立，则的取值范围为___________.
16．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式无解，求实数的取值范围．










17．已知函数.
(1)若,解关于的不等式;
(2)若,使,求的取值范围.









18．已知;
(1)若的解集为,求的值;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.











19．已知函数.
（1）解不等式：；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围．











20．已知函数,且的解集为．
(1)求的值;
(2)若,且，求证:












21．已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若均为正数，且，求的最小值．










22．已知函数.
（1）解不等式：；
（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.











1．（2018新课标全国Ⅰ文 ）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.









2．（2018新课标全国Ⅱ文 ）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．







3．（2018新课标全国Ⅲ文 ）设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．







4．（2017新课标全国Ⅰ文 ）已知函数，.
（1）当a=1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1 ，求a的取值范围.











5．（2017新课全国Ⅱ文 ）已知．证明：
（1）；
（2）．












6．（2017新课标全国Ⅲ文 ）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.









7．（2016新课标全国Ⅰ文 ）已知函数.
（1）画出的图象；
（2）求不等式的解集．








变式拓展

1．【答案】C

2．【解析】（1）可化为， 所以，所以，
所以所求不等式的解集为．学
（2）因为函数在上单调递增，
，，，
所以，即，
所以，所以，所以.
即实数的取值范围是．

4．【解析】（1）因为，
所以．
（2）由（1）及得．
因为，，
所以．
考点冲关

1．【答案】B
【解析】由 2x﹣1 >1得2x﹣1>1，或2x﹣1＜-1，解得x>1或x<0．故选B．
2．【答案】C
【解析】 ，
当且仅当，即时取等号.学
故选C．
3．【答案】B

4．【答案】A
【解析】构造函数y= x+2 − x ，可求得其最小值为−2，因为不等式 x+2 − x ≤a的解集不是空集，所以a≥−2.故选A.
5．【答案】A
【解析】
，
当且仅当时等号成立，故所求的最小值为，故选A．
6．【答案】A
【解析】因为 x−1 + x+2 ≥ (x−1)−(x+2) =3,所以函数f(x)的最小值为3.
要使不等式f(x)>a2−2a对于任意的x∈R恒成立,只需a2−2a<3,即(a+1)(a−3)<0,解得−1 故a的取值范围为(−1,3).
7．【答案】A

8．【答案】
【解析】∵，∴或，
解得x＞2，
故所求不等式的解集是（2，+∞）.
9．【答案】
【解析】函数，由，可得，其中，下面对进行分类讨论，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，.
10．【答案】1
【解析】由 2x−a +a≤6,得a−6≤2x−a≤6−a,所以a−3≤x≤3,所以a=1.
11．【答案】(−∞,)

12．【答案】(−∞,−)∪(,+∞)
【解析】由条件知不等式f( x+ )+f( x+2 )>1等价于 x+ + x+2 >3,等价于或或 
解得x<−或∅或x>,学
所以不等式的解集为(−∞,−)∪(,+∞).
13．【答案】

14．【答案】(－∞，1)
【解析】绘制函数的图象如图所示，观察函数图象可得函数的最小值为1，
若关于的不等式无解，则实数 的取值范围是.
故答案为．

15．【答案】
【解析】因为函数，
所以函数的最小值为
因为存在，使得成立，
所以故有
解得.

 17．【解析】(1)若,则不等式化为,
若,则,解得,故;
若,则,解得,故;
若,则,解得,故无解,
综上所述,关于的不等式的解集为.
(2),使等价于,学 .
因为,
所以,所以的最小值为,
所以,得或.
所以的取值范围是. 
18．【解析】(1)即,
平方整理得:,
所以根据题意，可得−3,−1是方程的两根,
则，解得.

19．【解析】（1）由，得，
所以，
解不等式得，即，
所以原不等式的解集是．
（2）因为对任意的，都有，使得成立，
所以，
又，，
所以，解得或，
所以实数a的取值范围是或．
20．【解析】(1)因为,
所以等价于,
由有解,得,且其解集为．
又的解集为,故.
(2)由(1)知,
又,
所以=≥=9．(或展开运用基本不等式)
所以.学 ?

22．【解析】（1）由题意知，原不等式等价于或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为.

直通高考

1．【解析】（1）当时，，即
故不等式的解集为．
（2）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．

3．【解析】（1）的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，
故当且仅当且时，在成立，
因此的最小值为．学
4．【解析】（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.

【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.
5．【解析】（1）

（2）因为

所以，因此．
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．
6．【解析】（1），当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得.
所以的解集为.

【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；学
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
7．【解析】（1）的图象如图所示.


【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图象、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.