2019届二轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 学案 （全国通用）

考情速递：1. （2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解析】：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．学    ]∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3． 学    ]可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．2（2018•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y2，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，解得k=或k=；∴k的值为或． 例1（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；    （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题． （2018•郴州三模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的焦距为2c，且b=，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与x轴交于点M，N，P为椭圆E上的动点，|PM|+|PN|=2a，△PMN面积最大值为．（1）求圆O与椭圆E的方程；（2）圆O的切线l交椭圆E于点A，B，求|AB|的取值范围．（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x=1，解得A（1，），B（1，﹣），|AB|=3．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m）．因为直线l与圆相切，所以=1，即m2=1+k2，联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=48（4k2+3﹣m2）=48（3k2+2）≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，．|AB|==4，==，=．令=t，则0＜t≤，所以|AB|=，t∈（0，]，所以|AB|=，所以3＜|AB|≤．综上，|AB|的取值范围是[3，]．例2（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2由++=，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐标再求公差．点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m   .   ]∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1﹣x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，∴该数列的公差为±． 例3（2018•岳阳二模）如图，A，B是椭圆C：=1长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．（1）求证：kBQ•kAQ=﹣；（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标． 学    ]【分析】（1）设Q（x1，y1），由题意方程求出A，B的坐标，代入斜率公式即可证明；（2）由（1）结合kAP=4kBQ，可得kAP•kAQ=﹣1，设P（x2，y2），直线PQ：x=ty+m，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及kAP•kAQ=﹣1列式求得m值，则可证明直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．【证明】：（1）设Q（x1，y1），由椭圆，得B（﹣2，0），A（2，0），∴；∴（t2+1）（m2﹣4）+（m﹣2）t（﹣2mt）+（m﹣2）2（t2+4）=0，∴5m2﹣16m+12=0，解得m=2或m=．∵m≠2，∴，∴直线PQ：，恒过定点．  （2018年北京）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．【解析】（1）∵抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），∴4=2p，解得p=2，设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得消y可得k2x2+（2k-4）x+1=0，∴Δ=（2k-4）2-4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2=-，x1x2=，故直线l的斜率的取值范围（-∞，0）∪（0，1）．因为+=+ =+======2，∴+=2，∴+为定值． 学       1.（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　　时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．2. （2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴kAB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．必刷题：A卷1．（2018•江西二模）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【答案】：A2（2018•济南一模）已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（　　）   ]A． B．C． D．【答案】：B【解析】椭圆长轴的长为6，即2a=6，得a=3∵两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=•2a=6，得c=1，因此，b2=a2﹣c2=9﹣1=8，再结合椭圆焦点在x轴上，可得此椭圆方程为：．故选：B．3（2018•江门一模）F是抛物线y2=2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若，则=（　　）A．1 B． C．2 D．【答案】：D【解析】由题意，设A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m=，∴|FA|=，|FB|=3，∴=|FA FB|=，故选D．4（2018•吴忠模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆 x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】C5（2018•和平区二模）已知点P是直线3x+4y﹣2=0上的点，点Q是圆（x+1）2+（y+1）2=1上的点，则|PQ|的最小值是　　．【答案】【解析】：圆心（﹣1，﹣1）到点P的距离的最小值为点（﹣1，﹣1）到直线的距离d==，故点Q到点P的距离的最小值为d﹣1=．如图：故答案为：．6. （2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．B卷1.（2018•南开区校级模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（　　）A． B．=1C． D．【答案】：D【解析】双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴=，即b=a，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，   |  |X|X|K]∴双曲线的方程为﹣=1．故选：D．2（2018•海淀区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．【解析】：（Ⅰ）由题意，    解得：，，故椭圆C的标准方程为；设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线，直线故，|OM|+|ON|=====4．