2019届二轮复习（理）专题27等差数列及其前n项和学案（全国通用）


1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．

1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N ，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N )．
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d(其中n∈N ，a1为首项，d为公差，an为第n项)．
3．等差数列及前n项和的性质
(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N )．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
【必会结论】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N )．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N )，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.

高频考点一　等差数列基本量的运算
例1、(1)[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　C
]
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝(　　)
A．28 B．21 C．14 D．7
答案　D
解析　由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7.故选D.
【举一反三】(1)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A.100 B.99 C.98 D.97
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝ .
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.

法二　∵由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，
由S3＝6，S4＝12可得
解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.
答案　(1)C　(2)30
【方法规律】等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
【变式探究】(1)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
答案　C
解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝ .
答案　－72
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
高频考点二　等差数列的判定与证明
例2、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N )，数列{bn}满足bn＝(n∈N )．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N )，
bn＝(n∈N )，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

【感悟提升】等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
【变式探究】(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N )，则该数列的通项为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案　(1)C　(2)A

(2)由已知式＝＋可得
－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.
高频考点三　等差数列的性质及应用
例2、(1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝ .
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝ .
答案　(1)10　(2)60
解析　(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，
∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.
【变式探究】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－.
方法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

【感悟提升】等差数列性质的应用技巧
(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N )与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N )相结合，可减少运算量．
(2)等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)
A.13 B.12 C.11 D.10
(2)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝ . . ]
解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，
所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
(2)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
答案　(1)A　(2)10
高频考点四　等差数列前n项和及其最值
【例4】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ . | |X|X|K]
解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a80，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
【变式探究】等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解　解法一：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1. ]
又a1>0，所以－2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．
3．【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由 可得： ，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得： .
1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
【答案】C

2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，
（）.若（ ）

A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
【答案】A
【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则 ..
【答案】6
【解析】∵是等差数列，∴，，，，
∴，故填：6．
4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .
【答案】
【解析】由得，因此
1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）
A、-1 B、0 C、1 D、6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，选B.
2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D

3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.
【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则 ．
【答案】

【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .
【答案】10．
【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．
【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
【答案】5
【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．
1．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝ .
【答案】1　
【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.
2．（2014·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a100，a7＋a10＝a8＋a90，a960n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.
5．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N .
(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①
因为