2019届二轮复习方程思想学案（全国通用）

方 程 思 想方程思想不仅是最基本的也是最重要的数学思想之一，它是从对问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或方程与不等式的混合组成），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获得解决的思想.利用方程思想解决数学问题时，首先要具备正确列出方程的能力，其次要具备用方程思想解题的意识.方程思想在高中数学体系中的应用主要体现在数列、解析等方面.例1. (1)已知函数满足，求的解析式.解：此题显然是关于与的方程，凭借已知中的一个方程是无法求解出的，抓住已知中与互为相反数，以代换再造一个方程，得到相当于两个“未知数”与的两个方程，再进行求解.易得所求.这里核心是“轮换”，即以代换，再造一个方程.类似地有，若函数满足，，求解，我们应以代换得再利用方程思想求解. 还有，若求等都需要方程思想求解.(2)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.解：　由已知得∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝.这里把两个已知视为关于与的二元一次方程组是解题的关键.（一）方程思想在数列中的应用　利用方程思想解决数列问题时,基本的解题思路是待定系数法，通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化。例2.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[解]　(1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.（二）方程思想在解析几何中的应用方程思想在解析几何中的应用主要体现在对圆锥曲线参数a、b、c的求解上。例3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．[解]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，    x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2, x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0.所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.（三）方程思想在解决图象交点或方程根等问题中的应用　函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）＝0，就是求函数y＝f（x）的零点，再如方程f（x）＝g（x）的解的问题可以转化为函数y＝f（x）与y＝g（x）的交点问题，也可以转化为函数y＝f（x）－g（x）与x轴的交点问题，方程f（x）＝a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域.例4.　已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0)，其中e表示自然对数的底数．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．[解]　(1)解法一：因为x>0，所以g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根．解法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的图象，如图所示，观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.解法三：由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0，此方程有大于0的根，故    等价于故m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.由题意，作出g(x)＝x＋(x>0)及f(x)＝－x2＋2ex＋t－1 的大致图象，如图所示．故当t－1＋e2>2e，即t >－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．反思：解决图象交点及方程根问题的方法函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题．函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系。配套练习：1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100　　　　　B．99      C．98  D．972.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（   ）A．         B．       C.         D．3.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为(　　)A．－5   B．－6C．－7  D．－84.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1＋S2，求S的最大值．解析：1. 设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.故选C2.方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.3.由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)，在x∈[－5,1]上有三个根xA、xB、xC，且xB＝－3，＝－2，xA＋xC＝－4，∴xA＋xB＋xC＝－7.故选C4.解　(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，所以n＝2时，Sn取到最大值4.5.解　(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2＋y2＝b2，且与直线x－y＋2＝0相切，所以b＝＝，所以a2＝4，b2＝2，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my＋，由得(m2＋2)y2＋2my－2＝0，y1＋y2＝－，y1y2＝－.所以|MN|＝|y2－y1|＝ ＝ ＝，因为MN∥OQ，所以△QF2M的面积等于△OF2M的面积，S＝S1＋S2＝S△O MN，因为点O到直线MN：x＝my＋的距离d＝所以S＝|MN|·d＝××＝.令 ＝t，则m2＝t2－1(t≥1)，S＝＝，因为t＋≥2＝2(当且仅当t＝，即t＝1，也即m＝0时取等号)，所以当m＝0时，S取得最大值.