2019届二轮复习解答客观题常用的6种方法学案（全国通用）

二、解答客观题常用的6种方法(对应学生用书第85页)选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果.解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.解法1　直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．【例1】　(1)(2018·邢台市期末)设复数z满足z(1＋i)＝i－3，则复数的实部为(　　)A．－2 B．2  C．－1 D．1 (2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A．5 B．6  C．7 D．8(1)A　(2)D　[(1)由z(1＋i)＝i－3，得z＝＝－1＋2i，所以＝＝－2＋i.故的实部为－2，选A．(2)过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.]■对点即时训练·1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝2cos2x B．y＝2sin2xC．y＝1＋sin D．y＝cos 2xA　[函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得y＝sin，再向上平移1个单位得y＝sin2x＋＋1＝1＋cos 2x＝2cos2x.]2如图3­2­1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)图3­2­1A．34    B．55    C．78    D．89B　[第一次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第二次循环：z＝3，x＝2，y＝3；第三次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第四次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第五次循环：z＝13，x＝8，y＝13；第六次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第七次循环：z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.当z＝55时，退出循环，输出z＝55.]解法2　特例法在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些)特殊情况(包括特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效．【例2】　(1)如图3­2­2，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)图3­2­2A．3∶1 B．2∶1C．4∶1 D．∶1(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.(1)B　 (2) 　[(1)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC­AA1B＝VA1­ABC＝VABC­A1B1C1，VA1­C1CBB1＝VABC­A1B1C1，所以截后两部分的体积比为2∶1.(2)令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cos A＝cos C＝.从而＝.]■对点即时训练·1．(2017·山东高考)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)A．a＋＜＜log2(a＋b) B．＜log2(a＋b)＜a＋C．a＋＜log2(a＋b)＜ D．log2(a＋b)＜a＋＜B　[令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2 ∈(1,2)，则＜log2(a＋b)＜a＋.]2.如图3­2­3所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________. 图3­2­318　[把平行四边形ABCD看成正方形，则P是对角线的交点，所以AC＝6，·＝18.]解法3　图解法(数形结合法)图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论．【例3】　(1)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值等于(　　)A． B．C． D．1(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．(1)A　(2)　[(1)法一：(几何法)如图，a＝，b＝，c＝.由题意有∠AOB＝，点C在圆M上，当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin ＋cos ＝.选A． 法二：(建系法或称坐标法)建立如图所示的坐标系，设点C的坐标为(x，y)．设a＝＝，b＝＝，c＝＝(x，y)．则(a－c)·(b－c)＝－x，－y·－x，－－y＝0.化简得＋y2＝，它的轨迹是图中圆M.当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin ＋cos ＝.选A．(2)因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为点A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.]■对点即时训练·1．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.2　[如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为C(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，则d＝＝＝，化简得k2＝4，因为k＞0，所以k＝2.]2．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．　[直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.]解法4　排除(淘汰)法排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．【例4】　(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)     　　 A　　　　　　 　B　　　          　C　　　　  　DB　[当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，选B.]■对点即时训练·设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)A．[－1,2] B．[－1,0]C．[1,2] D．[0,2]D　[若a＝－1，则f(x)＝易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；若a＝0，则f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C．故选D.]解法5　构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．【例5】　(1)已知m，n∈(2，e)，且－<ln ，则(　　)A．m>nB．m<nC．m>2＋D．m，n的大小关系不确定(2)如图3­2­4，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．图3­2­4(1)A　(2)π　[(1)由不等式可得：－<ln m－ln n，即＋ln n<＋ln m.设f(x)＝＋ln x(x∈(2，e))，则f′(x)＝－＋＝.因为x∈(2，e)，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)<f(m)，所以n<m.故选A．(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径. ∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π.]■对点即时训练·在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是_____．an＝2n－1(n∈N*)　[由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1(n∈N*)．]解法6　估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案．【例6】　(2017·全国卷Ⅱ)如图3­2­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)图3­2­5A．90π   B．63πC．42π   D．36πB　[由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.]■对点即时训练·1．若a＝20.5，b＝logπ 3，c＝log2 sin ，则(　　)A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>aA　[由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx、y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)；因为sin ∈(0,1)，所以c＝log2sin <0.综上，a>1>b>0>c，即a>b>C．故选A．]2．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)A．   B．     C．     D．D　[因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以＝.因为e＝>，所以e>.故选D.]