2019届二轮复习矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案（全国通用）

矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲
高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.

真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.
解　(1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，
因此， 点P的坐标为(3，－1).
2.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解　(1)AB＝＝.
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为＝，
所以即因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以＋＝1，
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，

所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解　由消去t.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当s＝时，d有最小值＝.
5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
解　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明　由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换

2.二阶矩阵的特征值和特征向量


(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解)，它即为M的属于λ的一个特征向量.
3.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
4.(1)直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
5.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)