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    3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 同步导学案(人教B版)

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    数学人教B版 (2019)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀学案

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    这是一份数学人教B版 (2019)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀学案,共3页。学案主要包含了建立函数模型解决实际问题的步骤,数学建模活动的要求,数学建模的两个案例等内容,欢迎下载使用。
    一、建立函数模型解决实际问题的步骤


    1.观察实际问题,发现和提出问题;2.收集数据;3.分析数据;4.建立模型;5.检验模型;6.求解问题.


    二、数学建模活动的要求


    1.组建合作团队;2.开展研究活动;3.撰写研究报告;4.交流展示.


    三、数学建模的两个案例


    [案例1] 航行问题


    甲、乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少?


    数学建模过程如下:


    1.模型准备


    (1)题目解读:读懂题意,初步了解问题要求,尤其注意题目中的“名词”、“动词”.


    (2)背景资料:对问题所属学科进行分类,查阅资料,了解背景知识(物理定律“距离=速度*时间”).


    2.模型假设


    (1)条件假设:将题目所处环境进行简化,提出简化条件(作出简化假设:船速、水速为常数).


    (2)符号假设:建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量:x, y表示船速和水速)


    说明:假设是在建模最后阶段才能整理出来的.


    3.模型建立:根据问题背景,选取适当的数学方法进行建模eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y×30=750,,x-y×50=750.))


    4.模型求解:纯数学求解、计算机求解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=20,,y=5.))


    5.模型分析解释:分析模型本身的稳定性、收敛性等性质.


    对于本问题,由于解是精确解,所以不存在误差,不存在收敛性问题;由于模型是静态的,所以不存在时间稳定性问题;由于模型是连续的,所以解对系数及右端项都是适定的.[来源:]


    答:船速每小时20千米


    6.模型检验:与实际数据、客观事实进行对比检验.


    7.模型应用:进行模型应用方面的推广(作出简化假设:船速、水速为常数)(用符号表示有关量:x, y表示船速和水速).


    解 用 x表示船速,y表示水速,列出方程:


    (用物理定律“距离=速度×时间”列出数学式子)[来源:Z。xx。k.Cm]


    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y×30=750,,x-y×50=750.))(求解得到数学解答)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=20,,y=5.))


    (回答原问题)


    答:船速每小时20千米


    [案例2] 最佳存款问题


    1.问题提出


    中国人民银行经过几次调整存款利率,目前银行整存整取的年利率如下表:


    现在一位刚升入初一的学生,家长欲为其存10万元,以供6年后上大学使用. 请设计一种存款方案,使6年后所获收益最大,并求出最大收益.[来源:Zxxk.Cm]


    2.问题分析


    问题:10万元资金存储n年后本息和最大的存款策略?(n=1,2,3,4,5,6)


    当n=1时,存1年定期;当n=2时,存2年定期;当n=3时,存3年定期;当n=4时,存3年定期1次,1年定期1次;当n=5时,存5年定期;当n=6时,存3年定期2次.


    3.模型假设


    假设:(1)存款期限内利率不变;(2)利息按复利计算.


    4.模型建立


    设存款数x(元),收益y(元),则:


    定期存款年限越长,利率越大.


    10万元资金存储6年后本息最大的存款策略:存3年定期2次.


    6年后的本息和:10×(1+3×4.5%)2=12.882(万元),


    最大收益为:y=12.882-10=2.882(万元).


    [练习][来源:]


    某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力,估计可使一头60 kg重的生猪每天增重2.5 kg. 目前生猪出售的市场价格为12 元/kg,但是预测每天会降低0.1 元,问该场应该在什么时候出售这样的生猪?


    解析 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长,但售价随时间减少,应该存在一个最佳的出售时机,使获得利润最大. 根据给出的条件,可作出如下的简化假设.


    模型假设 每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数为r=2.5 kg;生猪出售的市场价格每天降低常数g=0.1 元.


    模型建立 给出以下记号:t~时间(天);w~生猪体重(kg);p~单价(元/kg);R~出售的收入(元);Q~纯利润(元);C~t天投入的资金(元).


    按照假设,w=60+rt,(r=2.5),p=12-gt,(g=0.1).又知道R=pw,C=6t,再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(12元/kg)出售60 kg生猪的收入,有Q=R-C-12×60,得到目标函数(纯利润)为


    Q(t)=(12-gt)(60+rt)-6t-720;①


    其中r=2.5,g=0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大.


    模型求解 这是求二次函数最大值问题,用代数的方法容易求得t=eq \f(6r-30g-3,gr).②


    当r=2.5,g=0.1时,t=36,Q(36)=324,即36天后出售,可得最大纯利润324元.


    一年期
    二年期
    三年期
    五年期
    3.00%
    3.90%
    4.50%
    5.00%
    存期


    收益y


    存入款数
    一年期
    二年期
    三年期
    五年期
    x
    3%x
    2×3.9%x


    =7.8%x
    3×4.5%x


    =13.5%x
    5×5%x


    =25%x

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