【数学】宁夏青铜峡市高级中学（吴忠中学青铜峡分校）2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．若，则有（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．平面直角坐标系下的点的极坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
5．已知复数 ，则（ ）
A．3 B．5 C． D．10
6．某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为121的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：4：2：3，则该样本中D类产品的数量为（ ）
A．22件 B．33件 C．44件 D．55件
7．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有600名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）
A．640 B．520 C．390 D．240
8．某学校从编号依次为001，002，…，180的180个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中前两组的编号分别为8，23，则该样本中最后一组的学生的编号为（ ）
A．008 B．170 C．180 D．173
9．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程 必过点（ ）
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1.5 | 2 | 3 | 2.5 | 3.5 |
A．（2,2.5） B． C． D．（2,3）
10．实数a，b满足（其中i为虚数单位），则复数的共轭复数为( )
A． B． C． D．
11．某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误的是（ ）
A．阿朱的日派送量的众数为76 B．阿紫的日派送量的中位数为77
C．阿朱的日派送量的中位数为76 D．阿朱的日派送外卖量更稳定
12．已知圆C的参数方程为：（为参数），则圆心C到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．观察下列各式：，，，，，，…，则______
14．某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，8，7，x，8，10，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为8，则该组数据的方差为____.
15．若关于的不等式的解集为 ，则________.
16．某企业计划投入产品的广告费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）有如下对应数据：
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 25 | 30 | 40 | 40 |
由表中数据得线性回归方程为．投入的广告费时，销售额的预报值为_______百万元．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（本题10分）在极坐标系中，圆C极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为x轴
的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 （t为参数）。
（1）写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程。
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
18（本题12分）某市图书馆准备进一定量的书籍，由于不同年龄段对图书的种类需求不同，为了合理配备资源，现对该市看书人员随机抽取了一天60名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：，
后得到如图所示的频率分布直方图，问：
（1）在60名读书者中年龄分布在的人数；
（2）估计60名读书者年龄的平均数和中位数.
19．（本题12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的50名学生中有40人比较细心，另外10人比较粗心；在数学成绩不及格的50名学生中有20人比较细心，另外30人比较粗心.
（I）试根据上述数据完成列联表：
| 数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 |
比较细心 | 40 |
|
|
比较粗心 |
|
|
|
合计 | 50 |
| 100 |
（II）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：，其中.
20．（本题12分）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 | 20 | 30 | 40 | 50 |
每周学习诗词的平均时间 | 2 | 3 | 3 | 4 |
（1）由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程。
（2）预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
,
21．（本题12分）已知 .
（1）解关于的不等式 ；
（2）若 恒成立，求实数m的取值范围．
22．（本题12分）在直角坐标系中，已知曲线以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点M（4,0），直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.
参考答案
一、选择题（12*5=60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | D | D | D | B | C | D | A | B | C | C |
二、填空题（4*5=20分）
13、 76 . 14、 . 15、 -5 . 16、 62 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（本题10分）在极坐标系中，圆C极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴
为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 （t为参数）。
（3）写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程。 （2）求直线l被圆C所截得的弦长．
【解析】
（1）圆C的极坐标方程
化为直角坐标方程为:
直线 （t为参数）的普通方程为
（2）圆心到直线的距离
∴直线l过圆心
∴弦长L=2R=4．
18（本题12分）某市图书馆准备进一定量的书籍，由于不同年龄段对图书的种类需求不同，为了合理配备资源，现对该市看书人员随机抽取了一天60名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：，
后得到如图所示的频率分布直方图，问：
（1）在60名读书者中年龄分布在的人数；
（2）估计60名读书者年龄的平均数和中位数.
【解析】
（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，
所以60名读书者中年龄分布在的人数为60×0.6=36人.
（2）60名读书者年龄的平均数为：
.
设中位数为，则，解得，
即60名读书者年龄的中位数为55.
19．（本题12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的50名学生中有40人比较细心，另外10人比较粗心；在数学成绩不及格的50名学生中有20人比较细心，另外30人比较粗心.
（I）试根据上述数据完成列联表：
| 数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 |
比较细心 | 40 |
|
|
比较粗心 |
|
|
|
合计 | 50 |
| 100 |
（II）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？
【解析】
（I）填写的列联表如下：
| 数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 |
比较细心 | 40 | 20 | 60 |
比较粗心 | 10 | 30 | 40 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
（II）根据列联表可以求得的观测值
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系.
20．（本题12分）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 | 20 | 30 | 40 | 50 |
每周学习诗词的平均时间 | 2 | 3 | 3 | 4 |
（3）由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程。
（4）预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
【解析】
（1），
（2）当x=60时，
.
答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.5小时.
21．（本题12分）已知 .
（1）解关于的不等式 ；
（3）若 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
解：（1）
（2）
22．（本题12分）在直角坐标系中，已知曲线以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点M（4,0），直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.
【解析】
（Ⅰ）由题意知，曲线的普通方程为，
∴曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）设点，的极坐标分别为，，
则由可得的极坐标为，
由可得的极坐标为．
∵，∴，
